Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата



в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в квадратное относительно t, у которого свободный член f2 ( x0, у0) = 0. Из уравнения получается t1 == 0 (это значение Диофант отбрасывает), t2 — рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.

В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 = ax2 + bx + с, очевидно рациональное решение x0 = О,y0=±C. Подстановка Диофанта выглядит так:

x = t,

y = kt ± c

Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они приводили к уравнению у2 == = a2x2 + bx + с. Он делал подстановку

x= t,

y = at + k,

после чего х и у выражались рационально через параметр k:

Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких решений будет бесчисленное множество, причем значения х и у могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра”

В книге II есть задачи, решаемые с помощью “двойного неравенства”, т. е. системы

ах + b = и2,

сх + d == v2.

Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод можно применить и при а : с = т2, Когда а == с, Диофант почленным вычитанием одного равенства из другого получает и2 —и2 = b — d. Затем разность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и + v = I, и — v = п, после чего находит

и = (I + п)/2, v = (I - n)/2, х - (l2 + п2}/4a - {b + d)/2a.

Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй степени, то Диофант находит такие рациональные выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.

Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы решения существовали.

В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональные функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и другие точки. Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы”

Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые из них решаются с помощью уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более неизвестных. Есть и такие, в которых требуется разложить данное целое число на сумму двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадраты должны удовлетворить определенным неравенствам.,

При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение Пелля ax2 + 1 = у2.

Задачи книги VI касаются прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. К условию х2 + у2 == z2 в них добавляются еще условия относительно площадей, периметров, сторон треугольников.

В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b == у2 имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им способы.

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение на тему онегин, шпаргалки по гражданскому праву.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата