Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Рассмотрим теперь последовательность (0, 1, 0, ..., 0...), обозначив ее буквой x. Тогда x2 = (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...) и т.д. Поэтому    . Таким образом, мы построили элементы кольца K[x] полиномов.

Итак, при определении многочлена

                                   (3)

существенны лишь коэффициенты , и поэтому можно было бы писать вместо (1) последовательность . Однако, в конечном счете, запись многочлена в виде выражения (3) оказывается более удобной.

Пусть , причем . Одночлен  называется высшим (старшим) членом полинома f(x) и показатель n называется степенью f(x) и обозначается deg f. Нулевой полином не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен нулю. Коэффициент  называется свободным членом. Многочлен, старший коэффициент которого равен единице, называется нормированным.

При сложении многочленов  и  по формуле (1) мы видим, что формула для суммы не содержит членов, степень которых выше, чем , а формула (2) для произведения - членов, степень которых выше, чем n + m. Отсюда следует, что

,                        (4)

.                             (5)

3. Кольцо многочленов над областью целостности.

Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т.е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.

При произведении многочленов   степени n и  степени m старший член, как следует из формулы (2), равен  (это коэффициент при ). Так как в кольце нет делителей нуля, то  и, значит, . Из нашего рассуждения следует также, что

.                                  (6)

Эта формула является уточнением неравенства (5) для случая, когда в кольце K нет делителей нуля. Формула (6) также справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю. Итак, произведение двух ненулевых многочленов - ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть  - многочлен с коэффициентами из K. Для любого  положим

,                                         (7)

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент  называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем , когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.

Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)=  =f(x0) + g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1)    =  , где , что и требовалось доказать.

Пусть теперь  - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что  для любого . Перемножим равенства  , . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где . Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что .

Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.

4. Схема Горнера и теорема Безу.

В кольце многочленов деление в обычном смысле слова, как правило, невозможно. Например, в кольце  многочлен x2 нельзя разделить на x + 1, т.е. не существует такого многочлена g(x), что x2 = g(x)(x + 1) (если бы такой многочлен существовал, то при x = -1 мы получили бы невозможное равенство ).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: план конспект, реферат по праву.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата