
Многочлены над кольцом классов вычетов
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад по обж, сочинение
| Добавил(а) на сайт: Rytov.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 | Следующая страница реферата
Полученный остаток разделим на 9 и выполним третье деление:
0
Поскольку остаток равен нулю, то .
Наибольший общий делитель нескольких многочленов f1, f2, ..., fm может быть найден индуктивным способом на основании следующей формулы:
. (10)
Для того чтобы найти наибольший общий делитель
многочленов , следует, согласно этой формуле, найти сначала
, затем
и т.д.;
и будет искомым наибольшим делителем.
Докажем формулу (10). Согласно определению наибольшего
общего делителя, делители многочлена - это в точности общие делители многочленов
. Поэтому
совокупность всех общих делителей многочленов
и fm совпадает с совокупностью всех общих
делителей многочленов
и fm; отсюда и следует формула (10).
Наибольший общий делитель d двух многочленов над полем R, а также всякий многочлен, кратный
d, может быть представлен в виде
, где
. Такое
представление мы называем линейным выражением данного многочлена через
многочлены f и g.
Для нахождения линейного выражения наибольшего общего
делителя d можно воспользоваться алгоритмом Евклида. В самом деле, первое из
равенств (9) дает следующее линейное выражение многочлена r1 через f и g: . Подставляя
его во второе равенство, получаем линейное выражение многочлена r2:
. Продолжая
так дальше, получаем, в конце концов, линейное выражение наибольшего общего
делителя
.
Пример. Найдем линейное выражение наибольшего общего делителя d многочленов f и g из примера 14.
Результаты делений с остатком, выполненных при решении
предыдущего примера, показывают, что ,
. Отсюда
находим:
,
. Таким
образом,
,
.
Линейное выражение любого многочлена h, кратного d, может быть найдено, исходя из линейного выражения d. А именно: пусть и
. Тогда
.
На практике линейное выражение многочлена h удобнее
искать не с помощью алгоритма Евклида, а методом неопределенных коэффициентов.
Запишем искомые многочлены u и v в общем виде с неопределенными (неизвестными)
коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве , получим
систему уравнений для коэффициентов многочленов u и v. Легко видеть, что эти
уравнения будут линейными.
7. Наименьшее общее кратное.
Наименьшим общим кратным многочленов над полем R называется многочлен h, обладающий
следующими свойствами: 1) h делится на каждый из многочленов
, т.е.
является их общим кратным; 2) h делит любое общее кратное многочленов
.
Теорема Для двух многочленов f и g наименьшее общее кратное [f, g] связано с наибольшим общим делителем (f, g) соотношением
(11)
Доказательство. Для доказательства формулы (23)
положим ,
,
,
и рассмотрим многочлен
(12)
Многочлен является общим кратным многочленов f, g и, следовательно, делится на h. Теперь рассмотрим многочлен
. Равенства
,
показывают, что
- общий делитель многочленов f, g;
следовательно,
делит d, т.е.
, где q -
некоторый многочлен. Отсюда получаем:
, т.е.
. Стало быть, h делится на
. Таким
образом, h и
ассоциированы, т.е.
, где
,
. Из (24)
получаем тогда, что
, что и
требовалось доказать.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: план конспект, реферат по праву.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 | Следующая страница реферата