Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

- - C - измеримо, ;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;

- минимальная s -алгебра, содержащая все , совпадает с C.

Лемма (*). Пусть - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и - то множество из , которое содержит . Тогда для любой C-измеримой функции

и m -почти для всех [ ]. n

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле произвольного изображения . Пусть - минимальная s -алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где - прообраз борелевского множества , B - s -алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений X, причем - минимальная s -алгебра, содержащая все и П(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

Тогда

1) для любого -измеримого изображения и почти для всех , ,

2) для любого изображения при (в ), где П - ортогональный проектор на .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) - продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения

, то для любого изображения и для любого , ибо -измеримо, N=1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f, в которой задано не разбиение поля зрения X, а векторы в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение - наилучшая в аппроксимация f. Так как

,(14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q, или, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

,(14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором

(15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из в по формуле , , i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.

Теорема 2.Пусть - заданные векторы Rn. Решение задачи

наилучшего в приближения изображения f изображениями имеет вид , где - индикаторная функция множества . Множество определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: оформление доклада титульный лист, понятие культуры.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата