Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

,(20)

и равен

(21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

.(22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор

.(23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы на сфере в Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению >0,

,

и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при

Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем (Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения изображениями g(× ) (17) является изображение

(24)

Операторы ,i=1,...,N, и - нелинейные (зависящие от f(× )) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению i,

;(25)

проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

(19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них i - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и введем обозначения, указывающие на зависимость от f(× ):

(26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть fi - cсобственный вектор Фi , отвечающий максимальному собственному значению i. Чтобы определить следует решить задачу на собственные значения для оператора :

.

Поскольку rank=1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно i, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: оформление доклада титульный лист, понятие культуры.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата