Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Сделаем подстановку t=sin x; тогда dt= cosx dx и, следовательно,

Пример 2.

Полагаем t=1+x2 ;тогда dt=2xdx и

Пример 3.

Полагаем ; тогда dx=a dt,

Пример 4. . Полагаем ; тогда dx=a dt,

0).

В примерах 3 и 4 выделены формулы ,приведенные в таблице интегралов под номерами 11′и 13′(см. выше,пункт №2).

Пример 5. Полагаем t=lnx; тогда

.

Пример 6. ? Полагаем ;тогда dt= 2xdx,

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким -либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому посвящены большая часть настоящего пункта.

5)Интегрирование по частям

Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или

.                                                   (1)

Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла  составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается.

Пример 1. ? Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -cosx.Следовательно,

.

Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: охрана труда реферат, экзамен.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата