
Оператор сдвига
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: атлетика реферат, изложение 6 класс
| Добавил(а) на сайт: Гольдин.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата
Рассмотрение оператора
дифференцирования как оператора, действующего из D1 в С[a,b], не вполне удобно, так как, хотя при этом мы и получаем непрерывный оператор, определенный на всем
пространстве, но не к любой функции из D1 можно применять этот оператор дважды.
Удобнее рассматривать оператор дифференцирования в еще более узком
пространстве, чем D1 , а именно в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на отрезке
[a; b], в котором топология задается счетной системой норм
. Оператор
дифференцирования переводит все это пространство в себя, и, как можно проверить, он непрерывен на этом пространстве.
2. Ограниченность и норма линейного оператора
Определение 2. Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Между непрерывностью и ограниченностью линейного оператора существует тесная связь, т.е. справедливы следующие утверждения:
Теорема 1. Для того, чтобы линейный
оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
1. Пусть оператор А неограничен.
Тогда существует МЕ –
ограниченное множество, такое, что множество АМ
Е1 не
ограничено. Следовательно, в Е1 найдется такая окрестность нуля V, что ни одно
из множеств
АМ не
содержится в V. Но тогда существует такая последовательность хn
M , что ни
один из элементов
Ахn не
принадлежит V и получаем, что
в Е, но
не сходится к 0 в Е; это противоречит
непрерывности оператора А.
2. Если оператор А не непрерывен в
точке 0, то в Е1 существует такая последовательность , что Ахn не
стремится к 0. При этом последовательность
ограничена, а последовательность
не ограничена. Итак, если оператор А не
непрерывен, то А и не ограничен. Утверждение доказано.
Если Е и Е1 – нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1, можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он переводит любой шар в ограниченное множество.
В силу линейности оператора А это
условие можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует С=const
, что для любого Е :
.
Определение 3. Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается
.
Теорема 2 [1]. Для любого
ограниченного оператора А , действующего из нормированного пространства в
нормированное .
3. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов
Определение 4. Пусть А и В – два
линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в
пространство Е1. Назовем их суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу
элемент у=Ах+Вх,
.
Можно проверить, что С=А+В – линейный
оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения DC оператора
С есть пересечение областей определения операторов А и В.
Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причем
(2)
Действительно, для любых х , следовательно, выполняется неравенство (2).
Определение 5. Пусть А и В – линейные
операторы, причем А действует из Е в Е1, а В действует из Е1 в Е2 .
Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в
соответствие элементу элемент
из Е2.
Область определения DC оператора С=ВА
состоит из тех хDA , для
которых Ах
DB. Ясно , что
оператор С линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны.
Если А и В – ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА – ограничен, причем
(3)
Действительно, , следовательно, выполняется (3).
Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны.
Произведение оператора А на число к (обозначается кА) определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент кАх.
Совокупность Z(E,E1) всех непрерывных
линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е1 ( где Е и Е1–
фиксированные линейные нормированные пространства), образует, по отношению к
введенным операциям сложения и умножения на число, линейное пространство. При
этом Z(E, E1) – нормированное пространстово (с тем определением нормы
оператора, которое было дано выше).
4. Обратный оператор
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные шпаргалки по праву, диплом.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата