Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа:

Докажем, что спектр унитарного оператора U содержится в единичном круге.

Рассмотрим обратный оператор и покажем, что он тоже унитарный. Докажем, что, если  принадлежит спектру оператора U, то  принадлежит спектру обратного оператора и наоборот.

Для доказательства I этапа применим теорему 4: если А – ограниченный линейный оператор в нормированном пространстве и , то – регулярная точка. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса  с центром в нуле. А норма унитарного оператора U, как было показано, равна 1 (). Следовательно, спектр унитарного оператора содержится в единичном круге.

Перейдем ко II этапу. Докажем, что оператор, обратный к унитарному оператору, также унитарный оператор. Покажем, что он удовлетворяет условию изометрии:  для всех . Положим Ux=y, тогда , и , т. е.  для всех .

Докажем, что, если точка  является регулярной для оператора U, то точка  является регулярной для обратного оператора U-1. Точка , является регулярной для оператора U, если выполняется условие:

 (*).

Оператор U-1 является обратным для оператора U, значит, для них верно U-1U=I=UU-1 . Используя это, равенство (*) можно переписать:

, или

.

Используем свойство обратных операторов: оператор, обратный произведению операторов, равен произведению обратных операторов к данным, взятых в противоположном порядке, т.е. для двух операторов А и В имеем . Тогда равенство можно переписать в виде:

.

Вычислим отдельно произведение:

.

В итоге , т.е.  является регулярной для обратного оператора U-1.

Возьмем множество точек . Тогда точки вида  лежат вне единичного круга и все являются для оператора  регулярными, так как он унитарный и его норма равна 1. Но поскольку оператор  - обратный к оператору  , то точки, входящие в , по предыдущему рассуждению являются для него регулярными. Следовательно, спектр оператора U – это множество, лежащее на единичной окружности.

Важным примером изометрического оператора является оператор сдвига.

Определение 10. Оператор , заданный в пространстве последовательностей, называется оператором сдвига, если он каждую последовательность вида (х1,х2,…, хn…) переводит в последовательность вида (0, х1, х2, …, хn…), т.е. выполняется равенство: (х1,х2,…, хn…)=(0, х1, х2, …, хn…).

Можно также рассматривать оператор сдвига, который действует в пространстве последовательностей, бесконечных в обе стороны. Элемент этого пространства можно представить в таком виде: (…х-2, х-1, х0, х1, х2, …).

Определение 11. Оператор  называется оператором двухстороннего сдвига, если он каждую последовательность, бесконечную в обе стороны, сдвигает вправо, т.е. выполняется равенство: .

Уточним, о каких пространствах последовательностей будет идти речь:

1) l2 – пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд - сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой .

2) l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд – сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой .

Рассмотрим оператор одностороннего сдвига U(x1, x2, …, xn, …)=(0, x1, x2, …). Покажем, что этот оператор является изометрическим. Действительно, для любых  . А, значит, этот оператор по лемме 1 является изометрическим. Указанный оператор U не является унитарным, так как его образ – это не все пространство l2; векторы, имеющие ненулевую первую координату (например векторы вида (1, х1, х2, …)) не имеют прообраза. Значит, обратного оператора он не имеет.

Теорема 8. Оператор двухстороннего сдвига является унитарным оператором

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные шпаргалки по праву, диплом.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата