Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата

, , , , .

Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции  в разложении мы получим разные системы ортогональных полиномов.

§ 2. Обобщение Грамма - Шарлье.

Пусть по методу Пирсона найден вид кривой распределения вероятностей  на соответствующем интервале. Теперь, для представления в удобном для практического использования виде, запишем полученную кривую в несколько иной форме. Для этого используем обобщение Грамма – Шарлье, которое основывается на применении ортогональных полиномов Чебышева и состоит в том, что кривая распределения вероятностей представима в виде следующего разложения:

 (4)

где  - есть к–ая производная функции . Здесь полагаем, что

.

Таким образом, мы получаем кривую распределения вероятностей теперь уже в виде .

Производные функции  мы можем представить в виде [3]

,

тогда можем записать

где функции  должны удовлетворять следующему свойству:

       если     (5)

А коэффициенты  получаются из равенства (4) с помощью домножения на любой из ортогональных полиномов  и, интегрирования полученного равенства:

=

=

Отсюда следует, что

.

На практике в этом разложении мы используем только четыре первых члена, и коэффициенты перед ними есть:

          

          

Коэффициенты  имеют четкий статистический смысл, а именно: коэффициент , выраженный через , отвечает за асимметрию закона распределения, и коэффициент  выраженный через  - за эксцесс или дефект кривой распределения.

Свойство (5) есть свойство ортогональности полиномов, т. е.  по определению является системой ортогональных полиномов, которая получена по способу Чебышева в предыдущем параграфе [3], [5].

§ 3. Весовые функции и системы ортогональных полиномов.

В общей теории ортогональных полиномов известно, что система ортогональных полиномов называется классической, если она ортогональна относительно весовой функции, которая является решением дифференциального уравнения Пирсона [2], [6]. То есть, здесь прослеживается связь между теорией классических ортогональных полиномов и задачами математической статистики (нахождением закона распределения вероятностей).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: биология 6 класс, ответы 8 класс.





Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата