Определение правильного многогранника.

Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные равны.

Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани – равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.

Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников?

Пять типов правильных многогранников.

Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство:

В - Р + Г = 2.

(1)

Пусть каждая грань данного многогранника содержит m ребер (сторон), и в каждой вершине сходятся n ребер. Очевидно,

[pic]m[pic], n[pic]. (2)

Так как у многогранника В вершин, и каждой из которых сходятся n ребер, то получаем n[pic] ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение n[pic] каждое ребро войдет дважды.
Значит у многогранника имеется [pic] различных ребер. Тогда

[pic]= Р [pic] В = [pic]. (3)

Далее, в каждой грани многогранника М содержится m ребер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число различных ребер многогранника равно [pic]. Тогда

[pic]=Р [pic]Г=[pic]. (4)

Из (1), (3), (4) получаем [pic] - Р + [pic] = 2, откуда

[pic] + [pic] = [pic] + [pic] > [pic]. (5)

Таким образом, имеем

[pic]

Из неравенств 3[pic] и 3[pic] следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в случаях m = n =
4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 приходим к противоречию с условием [pic]. Поэтому остаются возможными пять случаев: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5.

Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).

1) m = n = 3 (каждая грань многогранника – правильный треугольник. Это – известный нам правильный тетраэдр («тетраэдр» означает четырехгранник).[pic]

2) m = 4, n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем

[pic]Р = 12; В = [pic] 8; Г = [pic] 6.

Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань – квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом («гексаэдр»
-- шестигранник), любой параллелепипед – гексаэдр.

[pic] 3) m = 3, n = 4 (каждая грань –правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем