Правильные многогранники

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: ответы 11 класс, конспект урока по русскому языку
| Добавил(а) на сайт: Glinin.

[pic]

Правильный додекаэдр
[pic]

Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.
|Вид грани |Плоский |Вид |Сумма |В |Р |Г |Название |
| |угол |многогранног|плоских | | | |многогранника |
| |при |о |углов при | | | | |
| |вершине |угла при |вершине | | | | |
| | |вершине | | | | | |
|Правильный |[pic] |3-гранный |[pic] |4 |6 |4 |Правильный |
|треугольник| | | | | | |тетраэдр |
|Правильный |[pic] |4-гранный |[pic] |6 |12|8 |Правильный |
|треугольник| | | | | | |октаэдр |
|Правильный |[pic] |5-гранный |[pic] |12|30|20|Правильный |
|треугольник| | | | | | |икосаэдр |
|Квадрат |[pic] |3-гранный |[pic] |8 |12|6 |Правильный |
| | | | | | | |гексаэдр (куб) |
|Правильный |[pic] |3-гранный |[pic]ё |20|30|12|Правильный |
| | | | | | | |додекаэдр |
|пятиугольни| | | | | | | |
|к | | | | | | | |

У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут интересовать:

1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра a).

2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра a).

3. Его объем (при длине ребра a).

4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра a).

5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра a).

6. Радиус сферы, касающихся всех его ребер (при длине ребра a).

Наиболее просто решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г[pic], где Г – количество граней правильного многогранника, а [pic]- площадь одной грани.

Напомним, sin [pic] = [pic], что дает нам возможность записать в радикалах: ctg [pic]=[pic]. Учитывая это составляем таблицы: а) для площади грани правильного многогранника
|Вид грани |Длина |Длина апофемы грани |Площадь грани |
| |стороны | | |
|Правильный |a |0,5[pic] |[pic] |
|треугольник | | | |
|Квадрат |a |0,5a |[pic] |
|Правильный |a |[pic] |[pic] |
|пятиугольник | | | |

б) для площади полной поверхности правильного многогранника
|Вид |Вид граней |Количество |Площадь полной поверхности |
|многогранника | |граней | |
|Правильный |Правильный |4 |[pic] |
|тетраэдр |треугольник | | |
|Правильный |Правильный |8 |[pic][pic] |
|октаэдр |треугольник | | |
|Правильный |Правильный |20 |[pic] |
|икосаэдр |треугольник | | |
|Правильный |Квадрат |6 |6a[pic] |
|гексаэдр (куб)| | | |
|Правильный |Правильный |12 |[pic] |
|додекаэдр |пятиугольник | | |

Теперь перейдем к вычислению величины двугранного угла [pic] правильного многогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла.

В правильном додекаэдре все плоские углы его граней равны [pic], поэтому, применив теорему косинусов для трехгранных углов к любому трехгранному углу данного додекаэдра при его вершине, получим: cos[pic], откуда

[pic]

[pic].

На изображенном правильном октаэдре ABCDMF вы можете убедиться, что двугранный угол [pic] при ребре октаэдра равен 2arctg[pic].

M

F

Для нахождения величины двугранного угла [pic] при ребре правильного икосаэдра можно рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его плоские углы ВАС и CAD равный [pic] , а третий плоский угол BAD, против которого лежит двугранный угол B(AC)D = [pic], равен [pic] (BCDMF – правильный пятиугольник). По теореме косинусов для трехгранного угла ABCD имеем: [pic]. Учитывая, что [pic], получаем [pic], откуда [pic]. Таким образом, двугранный угол [pic] при ребре икосаэдра равен [pic].

[pic]

Итак, получаем следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах правильных многогранников.
|Вид многогранника |Величина двугранного угла при ребре |
|Правильный тетраэдр |[pic] |
|Правильный октаэдр |[pic] |
|Правильный гексаэдр (куб) |[pic] |
|Правильный додекаэдр |[pic] |
|Правильный икосаэдр |[pic] |

Прежде чем находить объем того или иного правильного многогранника, сначала проведем рассуждения о том, как можно найти объем правильных многогранников в общем виде.
Попытайтесь сначала доказать, что если центр каждой грани любого правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной точке О, удаленной от всех граней данного многогранника на одно и тоже расстояние, которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный многогранник, а r – ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г равных между собой пирамид (Г—число граней правильного многогранника): основаниями образованных пирамид равны r. Тогда объем данного многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле:

(1)