Правильные многогранники

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: ответы 11 класс, конспект урока по русскому языку
| Добавил(а) на сайт: Glinin.

[pic] Р = 12; В = [pic]=6; Г = [pic]=8.

Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань – правильный треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» -- восьмигранник).

[pic]

4) m = 5, n = 3 (каждая грань – правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:

[pic]Р = 30; В = [pic]= 20; Г = [pic]= 12.

Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань – правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным додекаэдром («додекаэдр» -- двенадцатигранник).

[pic]

5) m = 3,n = 5 (каждая грань – правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем

[pic] Р = 30; В = [pic]=12; Г = [pic]= 20.

Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр» - двадцатигранник).

[pic]

Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема. Существует пять различных ( с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр

(куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

К этому заключению можно прийти несколько иначе.

Действительно, если грань правильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине сходятся k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого k-гранного угла равны [pic], то [pic]. Следовательно, натуральное число k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г = [pic], Р = [pic]. На основании теоремы Эйлера имеем: В+[pic]-[pic]= 2 или В [pic]( 6 – k ) = 12. Тогда при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр); при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр); при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).

Если грань правильного многогранника – правильный четырехугольник , то
[pic]. Этому условию соответствует единственное натуральное число k = 3.
Тогда: Г = [pic] , Р= [pic]; В + [pic] - [pic] = 2 или [pic]. Значит, В =
8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр).

Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то [pic]. Этому условию соответствует тоже только k = 3 и Г = [pic]; Р =
[pic]. Аналогично предыдущим вычислениям получаем: [pic]и В = 20, Г = 12, Р
= 30 (правильный додекаэдр).

Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше [pic], и уже k
= 3 их сумма становится не менее [pic], что невозможно. Следовательно, существует всего пять видов правильных многогранников.

На рисунках изображены разверстки каждого из пяти правильных многогранников.

Правильный тетраэдр

[pic]

Правильный октаэдр
[pic]

Правильный гексаэдр
[pic]

Правильный икосаэдр