Преобразование Фурье

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: шпаргалки по русскому языку, культурология как наука
| Добавил(а) на сайт: Прокоп.

Следствие. Преобразование Фурье определено для функций ((S(R).

Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)(L1(R). Заметим, что если ((S(R), то по свойству 4) функция (1+x2)((S(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x2)-1(L1(R). Поэтому функция (1+x2)((1+x2)-1(L1(R).

§3. Свойства преобразований Фурье функций из S(R).

1) [pic]

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом

[pic] сходимость которого вытекает из свойства 3): x((x)(S(R)(L1(R).

2) Если ((S(R), то F[(](C((R).

Так как -ix((S, то доказательство немедленно вытекает из 1).

3) [pic]

Доказательство. Очевидно

[pic] теперь можно интегрировать по частям

[pic]
Это и доказывает свойство 3).

Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть снова функция из класса Шварца.

Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем

[pic]
По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция

[pic] лежит в классе Шварца S(L1 , и тогда, по предложению пункта 2, функция
[pic] ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим Cn,m.
Предложение доказано.

§4. Обратное преобразование Фурье.

Определение. Функция

[pic] называется обратным преобразованием Фурье функции ((y) и обозначается F-
1[(].

Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

Докажем, что F-1[F[(]]=( для любой функции ((S. Для этого потребуется

Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)(L1(R) имеет почти всюду ограниченную производную. Пусть