Преобразование Фурье

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: шпаргалки по русскому языку, культурология как наука
| Добавил(а) на сайт: Прокоп.

Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности при более сильных ограничениях.

§2. Формальный поиск решения.

Применим преобразование Фурье

[pic][pic] (3)
Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании.
Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:

[pic]
Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье

[pic]
Учитывая (1), имеем

[pic] (4)
Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y, находим

[pic][pic]
Где g(y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g(y):

[pic]

§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.

Теорема 2. Если ((S(R), то формула

[pic] (5) дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t(0.

Доказательство. Так как [pic], то [pic] при любом t(0 и обратное преобразование Фурье в формуле (5) определено. Дифференцируя (5) по t, имеем

[pic] (6) так как [pic], то интеграл (6) сходится равномерно при t(0, и дифференцирование законно. Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x,t) по t и x.

Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:

[pic] (7)
Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (1).
Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.

§4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Преобразуем формулу (5) к более удобному ”явному” виду. Для этого запишем ее в интегралах

[pic] меняем порядок интегрирования

[pic] (8)
В формуле (8) внутренний интеграл есть преобразование Фурье от функции
[pic] при значении аргумента –(x-z), поэтому из (9.2) имеем

[pic]
Подставляя это в (8), получим

[pic] (9)
Функцию

[pic] называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Легко проверяются следующие свойства этой функции:

[pic]

§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.