Преобразование Фурье

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: шпаргалки по русскому языку, культурология как наука
| Добавил(а) на сайт: Прокоп.

Теорема 3. Пусть ((z) ограничена и непрерывна на вещественной оси.
Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).

Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла

[pic] (10)
Чтобы обосновать законность такого дифференцирования, достаточно показать равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену

[pic]

[pic]

Из ограниченности функции ( следует равномерная сходимость интеграла как по x(R, так и по t>(.

Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального решения следует, что u есть решение уравнения (1).

Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной интегрирования в (9):

[pic]
Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен предельный переход под знаком интеграла

[pic]
Теорема доказана.

§6. Единственность решения в классе ограниченных функций.

Теорема 4. Пусть ограниченная функция u(x, t) является решением задачи (1), (2) с начальной функцией ((0. Тогда u(x, t)(0.

Доказательство. Рассмотрим функцию

((x, t)=((x2+3a2t)+(u(x, t), где (>0, ( - любого знака. Легко проверить, что

[pic] (11)
Так как функция u ограничена, то функция v(x, y) в области t>0 достигает минимума в некоторой точке (x0, t0). Покажем, что v(x0, t0)(0. Пусть, напротив v(x0, t0)0, так как v(x, 0)(0. Как необходимые условия минимума имеем соотношения

[pic] которые противоречат (11).

Итак, v(x, t)(0 при всех x и t(0. При фиксированных x и t,переходя к пределу при ((0 в неравенстве

((x2+3a2t)+(u(x, t)(0, получаем (u(x, y)(0. Ввиду произвольности знака ( отсюда следует u=0.Теорема доказана