Kalmiik-forever

Глава I

Преобразование Фурье.

§1. Класс Шварца.
Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.

Определение. Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

[pic].
Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.

Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:
((,((S(R), a, b(К выполнено a(+b((S(R).

Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.

1) Если ((x)(S(R),то [pic]

2) Если ((x)(S(R),то ((x) ограничена на R.

3) Если ((x)(S(R),то ((x)=x((x)(S.

4) Если ((x)(S(R) и P(x) – многочлен, то P(x)((x)(S.

5) Если ((x)(S(R),то [pic].

Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

[pic].

Докажем свойство 3). Во первых, (=x((C?(R). Далее,

[pic].
Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a0+a1x+…+anxn, то по свойству 3) имеем xi((S(R), потому функция
P(x)((x)=a0(+a1(x()+a2(x2()+…+an(xn() принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.

Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

Определение. Функция

[pic] (1) называется преобразованием Фурье функции ((x) и обозначается F[(]. Ясно, что не для всякой функции ((x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.

Если [pic] (интеграл Лебега), то будем говорить, что ( принадлежит пространству L1(R).

Предложение 1. Преобразование Фурье функции ((x) из L1(R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.

Доказательство следует из равенства [pic] и (1):

[pic]