Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.

Известно,[pic] что определенный интеграл функции [pic] типа [pic] численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y=[pic] (Рис. 1).

[pic]

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница
[pic]= F(b) - F(a) где

F’(x) = f(x)

Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.
Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла [pic]по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].

Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .

Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида

[pic]

где xk - выбранные узлы интерполяции;

Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но

не от вида функции (k=0,1,2,........, n).

R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.

Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.
При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n) xo= a; xn= b; h= (b-a)/n ; и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n)

1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти

[pic]

По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом
Ln(x). Тогда

[pic]

где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:

[pic]
Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:
1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);
2.для полинома степени n последняя формула точная.

Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:

[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: мировая торговля, курсовые.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата