Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Корень c является неподвижной точкой отображения j, он преобразуется сам в себя c=j(c). Поэтому каждый шаг в итерационном процессе, сжимая расстояния должен приближать члены последовательности {xn} к неподвижной точке c.

После таких соображений поясняющих смысл теоремы, перейдём к её доказательству. Возьмём произвольную точку x0 на отрезке [c-d, c+d], она отстоит от точки c не больше чем на d: |c-x0| £ d.

Вычислим x1: x1=j(x0), при этом x1-c =j(x0)-j(c). Разность j(x0)-j(c) можно оценить с помощью условия Липшица:

|x1-c| = |j(x0)-j(c)| £ |x0-c| £ ad. (6.3)

Неравенство (6.3) показывает, что x1 принадлежит отрезку [c-d, c+d] и расположен ближе к точке c, чем x0.  

Продолжим построение итерационной последовательности. Вычислим x2: x2=j(x1), при этом:

|x2-c| = |j(x1)-j(c)| £ a|x1-c| £ a2|x0-c| £ a2d

Точка x2 опять принадлежит отрезку [c-d, c+d] и расположена ближе к точке c, чем точка x1, т.е. мы приблизились к c.

По индукции легко доказать, что последующие итерации также существуют и удовлетворяют неравенствам.

|xn-c| £ an |x0-c| £ and (7.3)

Отсюда следует, что:

, т. е.  

Остаётся доказать, что корень x=c (1.3) является единственным решением уравнения на отрезке [c-d, c+d]. Действительно, допустим, что существует ещё один корень x=c1.

Примем c1 за нулевое приближение и будем строить итерационную последователь- ность (2.3). Тогда с учётом (7.3) получим xn=c1 (n=0, 1, 2, …). С другой стороны, по доказанному , т. е. c1=c. Никаких других решений уравнение на отрезке иметь не может. 

Сходимость итерационной последовательности к корню уравнения (1.3) может быть использована для приближённого определения корня с любой степенью точности. Для этого нужно только провести достаточное количество итераций.

4. Быстрота сходимости процесса итераций

Используем теперь производную функции j(x) для оценки скорости сходимости итераций при решении уравнения х=j(x). Нужно оценить скорость, с которой убывают погрешности an=x-xn приближённых значений х1, … , хn, … корня x.

  

рис 1.4

Можно заметить, что справедливы равенства x=j(x) и хn+ 1=j(хn). Из них вытекает, что:

an+ 1= x-хn+ 1=j(x)-j(хn)

Но по формуле Лагранжа имеем:

j(x)-j(хn)= j ¢(cn)·( x-xn)= j ¢(cn) ·an  

где cn - точка лежащая между точками x и хn. Поэтому:

an+ 1=j ¢(cn) ·an (1.4) 

Из равенства (1.4) вытекает следующий вывод:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом вуза, стратегия реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата