Приближённые методы решения алгебраического уравнения

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: изложение 3, шпаргалки на телефон
| Добавил(а) на сайт: Соломонов.

Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата

Положим e=m2/(2M)

Тогда в силу (8.5) для данного e можно указать такое d: 0<d£ min (c–a, b–c), что для всех выполняется неравенство:

(9.5)

Учитывая это, получим:

(10.5)

Таким образом, функция j(x) удовлетворяет на отрезке [c-d, c+d] Ì [a, b] условию Липшица с постоянной a=0.5<1. Это означает, что уравнение (5.5) можно решать методом итераций: при любом выборе нулевого приближения x0 на отрезке [c-d, c+d] существует бесконечная последовательность {xn}, xn+1=j(xn), n=0, 1, 2, …, сходящаяся к корню x=c.

Теперь нам остаётся заметить, что итерационной последовательностью для уравнения (5.5), сходимость которой мы только что установили, является последовательность (3.5) метода касательных. Теорема доказана.

Требование близости нулевого приближения x0 к искомому корню c является существенным для метода касательных. На рис.2.5 изображён график, где х0 выбрано неправильно, то есть расстояние сх0>ас, так как ас<bс. В результате чего х1 не принадлежит отрезку [a, b], и на этом процесс построения рекуррентной последовательности метода касательных обрывается.

Таким образом, до начала расчётов по данному методу для выбора нулевого приближения х0 нужно знать область локализации искомого корня х=с. Если известен в общих чертах график функции f(x), то его легко определить по этому графику. В случае необходимости можно сделать несколько шагов по методу вилки. Затруднения, связанные с предварительным исследованием уравнения, вполне окупаются высокой скоростью сходимости метода.

рис. 2.5 Случай, когда процесс построения последовательности {xn} обрывается из-за плохого выбора нулевого приближения

6. Первые приближения для метода касательных

Первые нулевые приближения для метода Ньютона, для итерационной последовательности, можно так же найти другим путём. Если нам известно, что функция f(x) на отрезке [a, b] непрерывна и дважды дифференцируема, и имеет ровно один корень, тогда можно взять за нулевое приближение значение одного из концов отрезка [a, b] в зависимости от знака второй производной, иначе при первом же приближении можно попасть за пределы отрезка [a, b] (рис. 1.6).

То есть можно сформулировать следующее правило:

Пусть в точках a и b функция f(x) имеет различные знаки, причём на отрезке [a, b] вторая производная положительна. Тогда за начальное приближение х1 надо выбирать ту из точек a или b, в которой функция f(x) принимает положительное значение. Если же на отрезке [a, b] вторая производная отрицательна, то за начальное приближение x1 надо выбирать ту точку, в которой функция f(x) принимает отрицательное значение.

7. Метод секущих

В методе Ньютона (касательных) требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно заменить производную функции первой разделённой разностью, найденной по двум последним итерациям, т. е. заменить касательную секущей. Тогда вместо процесса получим:

(1.7)

для начала процесса необходимо задать х0 и х1 (рис. 1.7). Такие процессы, где для вычисления очередного приближения надо знать два предыдущих, называют двух шаговыми.

Эти изменения сильно меняют характер итераций. Например, сходимость итераций может быть немонотонной не только вдали от корня, но и малой окрестности корня. Скорость сходимости также изменяется. Его можно оценить, разлагая все функции в (1.7) по формуле Тейлора с центром . Получим с точностью до бесконечно малых более высокого порядка: