Приближённые методы решения алгебраического уравнения

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: изложение 3, шпаргалки на телефон
| Добавил(а) на сайт: Соломонов.

Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата

f(x0)+ f ¢(x0) (x1-x0)=0

таким образом: x1=x0 – f (x0)/ f ¢(x0) (2.5)

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции f(x) при x=x1 и найдём для неё точку пересечения x2 с осью Ox (см. рис.1.5) x2=x1 – f (x1)/ f ¢(x1). Продолжая этот процесс, получим последовательность {xn}, определён- ную с помощью рекуррентной формулы:

xn+ 1=xn – f (xn)/ f ¢(xn), n=0, 1, 2, … (3.5)

рис. 1.5

Построение последовательности {xn}по методу касательных

При исследовании этой последовательности, как и последовательности метода итераций, встают два вопроса:

Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа xn принадлежать отрезку [a, b] ?

Если процесс (3.5) бесконечен, то как ведёт себя последовательность {xn} при n®¥ ?

При анализе этих вопросов предположим, что корень x=c является внутренней точкой отрезка [a, b] (a<c<b), а функция f(x) дважды дифференцируема на данном отрезке, причём её производные удовлетворяют неравенствам:

| f ¢(x)|³m>0, | f ¢¢(x)|£M, xÎ[a, b], (4.5)

и докажем следующую теорему.

Теорема о сходимости метода касательных.

Если функция f(x) удовлетворяет условиям, сформулированным п.1., то найдётся такое d: 0<d£min(c–a, b–c), что при любом выборе начального приближения на отрезке [c-d, c+d] Ì [a, b] существует бесконечная итерационная последовательность (3.5) и эта последовательность сходится к корню c.

Доказательство. В силу предположения о дифференцируемости функции f(x) и не равенстве нулю её производной f ¢(x) уравнение f(x)=0 эквивалентно на отрезке [a, b] уравне- нию:

x=j(x), j(x)=x– f (x)/ f ¢(x) (5.5)

так что корень x=c исходного уравнения является одновременно корнем уравнения (5.4).

Исследуем возможность отыскания этого корня с помощью итераций.

Вычислим производную функции j(x):

(6.5)