Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic][pic].

2.Составное алгебраическое расширение поля.

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство (F, +, {((((
(P}(, где ((- операция умножения элементов из F на скаляр ((P.

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F : P].

Предложение 2.1. Если ( — алгебраический элемент степени n над P, то [P
(():P]=n.
Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, (, ..., (n, т. е. существуют в P такие элементы с0, с1,…,cn не все равные нулю, что с0(1+ с1(+…+cn (n = 0.
Следовательно, элемент ( является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля P называется составным, если существует возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что

P = L0 ( L1 (…( Lk= F и k>1.
Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

I) [F : P] = [F : L]([ L : P].

Доказательство. Пусть
(1) (1,…,(m — базис поля L над P (как векторного пространства) и
(2) (1,…,(n — базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:
(3) d = l1(1+...+ln(n (lk (L).
Коэффициенты 1k можно линейно выразить через базис (1):
(4) lk = p1k ( +…+ pmk (m (pik(P).
Подставляя выражения для коэффициентов lk в (3), получаем d = ( pik (i(k. i({1,…,m} k({1,…,n}
Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { ( i(k({1,..., m}, k ( {l,..., n}}.
Отметим, что множество B состоит из nm элементов.

Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть
(5) (cik(i(k = 0,

I,k где cik ( P. Так как система (2) линейно независима над L , то из (5) следуют равенства
(6) с1k( 1+...+сmk( m = 0 (k = 1,..., n).
Поскольку элементы ( 1, ..., ( m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства c1k = 0,…,cmk = 0 (k = 1, ..., n), показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F , P] = nm = [F: L]([L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I).

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L0 ( L1 (…( Lk= F и k>1 (1) такая, что при i = 1,..., k поле L i является простым алгебраическим расширением поля L i-1. Число k называется длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение F поля P является конечным расширением поля P.
Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть (1,..., (k — алгебраические над полем P элементы поля
F . Тогда поле P((1,..., (k) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L 0 = P, L 1 = P [(1], L 2= P [(1, (2,],..., L k = P [(1 ,..., (k].
Тогда L1 = P [(1] есть простое алгебраическое расширение поля L0; L2 есть простое алгебраическое расширение поля L1 , так как

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: титульный лист реферата, диплом.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата