Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

L2 = P [(1,(2] = (P [(1])[(2] = L1[(2] = L1((2) и т. д.

Таким образом,

P = L0 ( L1 (…( Lk= F где Li = Li-1((i ) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки.
Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P.
Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конечным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P (L ( F , причем L = P((), F = L(() и, следовательно, F = P((, ().

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел ( и ( и deg f = m, deg g = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

( = (1 ,..., (m — корни полинома f в C и

( = (1 ,..., (n — корни полинома g в C.
Рассмотрим конечное множество М:
M = {((i-()/((-(k)(i({1,…,m}, k({2,…,n}}.
Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконечное), то в P существует число c, отличное от элементов множества М, c(P(М, c(М. Пусть
(1) ( = ( + c(.
Тогда выполняются соотношения
(2) ( ( (i +c(k = (i({1,..., m}, k({2, ..., n}).
В самом деле, в случае равенства ( +с( = (i+с(k было бы с = ((i-()/((-(k) ( M что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F1 = P (() и F1 — кольцо полиномов от x. Пусть h = f(( - cx) — полином из F1[x] ((, c(P(() = F1). Покажем, что x-( есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце F1[x]. Так как g(() = 0, то x-( делит g в
E[x]. Далее, в силу (1) h(() = f((-c() = f(() = 0.
Поэтому x-( делит полином h в E[x]. Таким образом, x-( есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от (. В самом деле, допустим, что (k, k({2 ,..., n}, есть их общий корень. Тогда h((k) = f(( - с(k) = 0. Следовательно, найдется такой индекс i({1 ,..., m}, что ( =
(i+c(k (k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-( есть наибольший общий делитель g и h в E[x]. Поскольку x - ( — нормированный полином, то отсюда следует, что x - ( является наибольшим общим делителем g и h в кольце F1[x]. Поэтому

(x-() ( F1[x] и ( ( F1 = P(().
Кроме того, ( = ( - c( ( F1. Таким образом,

F = P((, ()( F1, F1(F.
Следовательно, F = P((). Далее, так как ( (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над P и F = P ((), то поле F = P (() является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.
Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E =
(С, +, —, •, 1( комплексных чисел. Алгебра A = (А, +, —, •, 1( является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a-1 ( Q (a, b) и поэтому а-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра A есть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = (А, +, —, •, 1( называется полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число (=[pic][pic] является алгебраическим.

Решение. Из (=[pic][pic] следует (-[pic][pic].

Возведем обе части последнего равенства в третью степень:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: титульный лист реферата, диплом.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата