Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8

Основная теорема. Для каждого поля P существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение (. С точностью до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических расширения (, ( ' поля P эквивалентны.

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть (, — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным условием для того, чтобы ( было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любого многочлена из P[x] в кольце ([x].

Доказательство. Пусть f(x) — произвольный многочлен из ([x]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень ( и прийти к собственному надполю ('. Элемент ( является алгебраическим над (, а ( является алгебраическим расширением поля P; следовательно, элемент ( алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g(x) из P[x]. Этот многочлен разлагается в ([x] на линейные множители. Следовательно, ( —корень некоторого линейного множителя в ([x], т. е. принадлежит полю (, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо многочленов P[x] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P будет отрезком.

Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами f(x) из
P[x] следующим образом: пусть f(x)

Скачали данный реферат: Nesterov, Kat'kin, Nikolaevskij, Челомеев, Sofonij, Роман.
Последние просмотренные рефераты на тему: скачать диплом, ответы по тетради, бесплатно рассказы, конспект.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8