Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Пусть (i— какой-нибудь корень многочлена xpe -(i. Тогда xipe = (i, xpe -(i = xpe – (ipe = (x-(i) pe.
Следовательно, (i является ре-кратным корнем многочлена xpe -(i и m f(x) = (( x -(i) ре.

1

Все корни многочлена f(x) имеют, таким образом, одну и ту же кратность ре.

Степень m многочлена ( называется редуцированной степенью многочлена f(x) (или корня (i); число e называется показателем многочлена f (x) (или корня (i) над полем (. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение n = m ре, где m равно числу различных корней многочлена f(x).

Если ( — корень неразложимого в кольце ([x] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то ( называется сепарабельным элементом над ( или элементом первого рода над (1). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент ( и неразложимый многочлен f(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода.
Наконец, алгебраическое расширение (, все элементы которого сепарабельны над (, называется сепарабельным над (, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые
«совершенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение ( = ( ((). Когда степень n уравнения f(x) = 0, определяющего это расширение, равна степени (( : (), редуцированная степень m оказывается равной числу изоморфизмов поля ( в следующем смысле: рассмотрим лишь такие изоморфизмы (((', при которых элементы подполя ( остаются неподвижными и, следовательно, ( переводится в эквивалентное поле (' (изоморфизмы поля ( над полем () и при которых поле- образ (' лежит вместе с полем ( внутри некоторого общего для них поля (. В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля ( расширение (=((() имеет ровно m изоморфизмов над ( и при любом выборе поля ( поле ( не может иметь более m таких изоморфизмов.
Доказательство. Каждый изоморфизм над ( должен переводить элемент ( в сопряженный с ним элемент (' из (. Выберем ( так, чтобы f(x) разлагался над
( на линейные множители; тогда окажется, что элемент ( имеет ровно m сопряженных элементов (,(', ... При этом, как бы ни выбиралось поле (, элемент ( не будет иметь в нем более m сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм ((()((((') над ( полностью определяется заданием соответствия ((('. Действительно, если ( переходит в (' и все элементы из ( остаются на месте, то элемент

(ak(k (ak(() должен переходить в

(ak((k а этим определяется изоморфизм.

В частности, если ( — сепарабельный элемент, то m = n и, следовательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения f(x) = 0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве ( можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого (» во всех предложениях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей.
Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле
(.

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:

Если расширение ( получается из ( последовательным присоединением m алгебраических элементов (1, ..., (m, причем каждое из (i,- является корнем неразложимого над (((1, ..., (i-1) уравнения редуцированной степени n'i, то m расширение ( имеет ровно (ni( изоморфизмов над ( и ни в одном

1 расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля (.

Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения (1 = (((1, ..., (m-1): в некотором подходящем расширении m-1
(1 есть ровно ( ni( изоморфизмов поля ( над (.

1 m-1

Пусть (1((1— один из этих ( ni( изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле ( он может быть продолжен до изоморфизма
( = (1 ((m) ( (= (((m) не более чем n(m способами.

Элемент (m удовлетворяет некоторому уравнению f1(x) = 0 над (1 с n(m различными корнями. С помощью изоморфизма (1((1многочлен f1(x) переводится в некоторый многочлен f1(x). Но тогда f1(x) в подходящем расширении имеет опять-таки n(m различных корней и не больше. Пусть (m— один из этих корней. В силу выбора элемента (m изоморфизм (1((1 продолжается до изоморфизма ( ((m) ( ( ((m) с (m((m одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

(ck(mk (( ck(mk
Так как выбор элемента (m может быть осуществлен n'm способами, существует n'm продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма (1((1
Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран m-1

( n'i способами,

1 то всего существует (в том поле (, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений) m-1 m

( n'i(n'm = ( n'i

1

1 изоморфизмов расширения ( над полем (, что и требовалось доказать.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: титульный лист реферата, диплом.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата