Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic] (9)

Вводя в данном случае замену переменной [pic] и учитывая, что f(x) – периодическая функция, получим

[pic]

Складывая (9) и (10), получаем

[pic]

Отсюда

[pic]

Аналогичным образом проводим доказательство для bk.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна, то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю: ak > 0, bk > 0, k > ?.

Пространство функций со скалярным произведением.

Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно- непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций f и ? будем называть интеграл

[pic] (11)

Очевидно для любых кусочно-непрерывных на [a, b] функций f , ? , ? выполняются свойства:

1) (f , ? ) =( ?, f );

2) (f , f ) и из равенства (f , f ) = 0 следует, что f(x) =0 на [a, b], исключая, быть может, конечное число точек x;

3) (? f + ? ? , ?) = ? (f , ?) + ? ( ? , ?),

где ?, ? – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы будем обозначать, [pic] и называть пространством [pic]

Замечание 1.

В математике называют пространством [pic]= [pic](a, b) совокупность функций f(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11).
Рассматриваемое пространство [pic] есть часть [pic]. Пространство [pic] обладает многими свойствами пространства [pic], но не всеми.

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (f ,
? ) | ? (f , f )Ѕ (? , ? ) Ѕ, которое на языке интегралов выглядит так:

[pic]

Величина

[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: эффективность диплом, доклад по обж.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата