Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6. Ряды Фурье для функций с периодом 2 l.

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии
Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в
1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в
1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и
1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу
«Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод
Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами
Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

[pic]

или, символической записи:

[pic] ( 1 )

где ?, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …,bn, …- постоянные числа (?>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = f(?), в[pic]виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции f(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций
[pic] (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида [pic] (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

[pic] [pic]

а потому и [pic][pic], т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции f(x) в ряд вида (1), будем предполагать f(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция f(х) с периодом 2? такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-?, ?), т. е. является суммой этого ряда:

f(x)=[pic]. (2)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: эффективность диплом, доклад по обж.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата