Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Задача Аполлония

В этом параграфе рассмотрим задачу о построении окружности, касающейся трех данных окружностей, названную в честь крупнейшего специалиста по коническим сечениям древности Аполлония Пергского4. Решению проблемы G предшествуют решения задач E и F.

Решение E. Чтобы построить окружность w2, проходящую через точки A и B и касающуюся данной окружности w1, рассмотрим инверсию с центром в точке O = A относительно окружности произвольного радиуса R. Образом w2 при инверсии invOR должна быть некоторая прямая a, проходящая через точку B¢ = invOR(B) и касающаяся окружности invOR(w1) (свойства VIII и IX). Касательные из произвольной точки X к произвольной окружности w(Y,r) провести довольно легко: для этого достаточно построить вспомогательную окружность w¢ на диаметре [XY] и соединить X с точками пересечения wÇw¢. Теперь выполняем необходимые построения в следующем порядке: находим B¢ = invOR(B) и invOR(w1), через точку B¢ проводим касательные a и b к окружности invOR(w1), строим образы invOR(a) и invOR(b) при инверсии invOR. В зависимости от расположения точки B¢ относительно окружности invOR(w1) может быть два, одно и ни одного решения (например, когда B¢ находится внутри invOR(w1)).

Решение F. Для решения этой задачи достаточно уметь проводить общую касательную к двум произвольным окружностям w(X,r) и w¢(Y,R). Будем считать, что r < R. Проведем из точки X касательную a к окружности w1(Y,R-r) (рис. 10), тогда искомая внешняя касательная b к окружностям w и w¢ будет параллельна прямой a и находится от нее на расстоянии r.

Рис. 10

Для проведения внутренней касательной вместо w1(Y,R-r) надо рассмотреть окружность w2(Y,R+r). В общем случае возможно до четырех решений. Теперь вернемся к исходной задаче. Пусть даны точка A и две окружности w1 и w2. Искомая окружность w, проходящая через A и касающаяся w1 и w2, при инверсии с центром O = A должна перейти в некоторую прямую a, которая касается окружностей invOR(w1) и invOR(w2) (свойства VIII и IX). Таким образом, приходим к следующему порядку построений: находим invOR(w1) и invOR(w2), проводим общие касательные (a,b,c,d) и строим образы этих касательных при invOR. В общем случае получится до четырех искомых окружностей, однако в одном случае решений будет бесконечно много (представьте, что произойдет после инверсии с окружностями w1 и w2, если они касаются в точке A).

Решение G. Задача Аполлония легко сводится к предыдущей задаче. Пусть даны окружности w1(O1,r1), w2(O2,r2) и w3(O3,r3), и r1 < r2 < r3. Построим окружность w(O,R), проходящую через точку O1 и касающуюся окружностей

w2(O2,r2-r1) и w3(O3,r3-r1). Уменьшив радиус окружности w на r1, т.е. рассматривая w(O,R-r1), приходим к одной из искомых окружностей. Количество решений исследовать самим (кажется, исключая бесконечный случай, возможно до восьми решений).

Изменение расстояния при инверсии

Основой исследований в этом параграфе будет формула V для вычисления расстояния между образами точек A и B при инверсии относительно w(O,R): |A¢B¢| = |AB|R2/(|OA|·|OB|). Из этой формулы сразу видно, что расстояние при инверсии для произвольных точек A и B не сохраняется и искажение расстояния происходит сильнее при приближении точек A и B к центру окружности инверсии. Прежде чем установить менее очевидный факт, введем важное в теории круговых преобразований5 понятие двойного отношения четырех точек.

Определение. Двойным отношением четырех точек A, B, C и D называют число

   |AC|

|BC|        :           |AD|

|BD|    .

Теорема. Двойное отношение четырех точек сохраняется при инверсии.

Доказательство. Обозначим через A¢, B¢, C¢ и D¢ соответственно образы точек A, B, C и D при инверсии относительно окружности w(O,R). Тогда из формулы V имеем

   |A¢C¢|

|B¢C¢|      :           |A¢D¢|

|B¢D¢|      =          |AC|/(|OA|·|OC|)

|BC|/|OB|·|OC|    :           |AD|/(|OA|·|OD|)

|BD|/(|OB|·|OD|)                    =

=            |AC|

|BC|        :           |AD|

|BD|               .

Следующая теорема является решением проблемы H.

Теорема. Пусть даны точки A, B и число k > 0 (k ¹ 1). Множество F состоит из всех таких точек X плоскости, для которых |XA|:|XB| = k. Тогда F является окружностью (окружность Аполлония), центр которой лежит на прямой (AB).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат россия скачать, пример реферата.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата