Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Рассматривая подобные треугольники DA¢SC¢¢ и DCSB1 приходим к

|A¢C¢¢| = |B1C|·   |SA¢|

|SC|        = (b-c)·                        a

2 ·           b-c

b+c           

a·            b

b+c              

   =          (b-c)2

2b                      .

Отсюда

|A¢C¢¢|·|A¢C¢| =   (b-c)2

2b           ·           b

2                       = R2. (2)

Равенства (1) и (2) означают, что invOR(B¢) = B¢¢ и invOR(C¢) = C¢¢. Поэтому

invOR(wэ) = (B¢¢C¢¢) = (B1C1) и wэ касается invOR(w1) = w1 и invOR(wa) = wa. Аналогично доказывается, что wэ касается оставшихся двух вневписанных окружностей. Теорема доказана.

Нетрудно заметить, что окружность Эйлера wэ треугольника ABC является окружностью Эйлера для каждого из следующих треугольников: DHAB, DHAC, DHBC (H - ортоцентр DABC). Каждый из этих треугольников имеет свою вписанную и три вневписанные окружности. Таким образом, теорема Фейербаха приводит к фантастическому результату: окружность Эйлера треугольника ABC касается по крайней мере шестнадцать окружностей, естественно определенных этим треугольником.

В заключение приведем небольшой список задач для самостоятельного решения. Если какая-либо задача не решается в течение 497 секунд, разрешено посмотреть указание к решению задачи.

Задачи

1. Где-то в пустыне находится лев. Требуется загнать его в круглую клетку (будьте осторожны с выбором своего местоположения).Решение

2. Пусть на плоскости дано конечное множество точек, причем прямая, проходящая через любые две точки этого множества, содержит также третью точку этого множества. Докажите, что все точки данного множества лежат на одной прямой (теорема Сильвестра).Решение

3. На плоскости дано конечное множество точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой, и окружность, проходящая через любые три данные точки, содержит еще одну точку этого же множества. Докажите, что тогда все данные точки лежат на одной окружности.Решение

4. Докажите, что для любых двух непересекающихся окружностей w1 и w2 найдется инверсия, которая переведет их в концентрические окружности w1¢ и w2¢. Решение

5. Даны две непересекающиеся окружности w и w¢, причем w лежит внутри w¢. Окружность w1, одновременно касающаяся w и w¢, обладает свойством Штейнера, если найдется такая цепочка окружностей w1,..., wn, касающихся w и w¢ и таких, что wi касается wi+1 для i < n и wn касается w1. Докажите, что если для окружностей w и w¢ найдется хотя бы одна окружность, обладающая свойством Штейнера, то и любая окружность S1, касающаяся w¢ внутренне и w внешне, обладает свойством Штейнера (поризм Штейнера). Решение

6. Вывести формулу Герона-Архимеда для вычисления площади треугольника ABC: S2DABC = p(p-a)(p-b)(p-c) (обозначения из леммы 1 последнего параграфа). Решение

7. Доказать, что точка пересечения медиан DABC, ортоцентр и центр описанной около DABC окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера). Решение

8. Докажите, что центр окружности Эйлера лежит на прямой Эйлера. Решение

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат россия скачать, пример реферата.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата