Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

5) Следует из 1) и 2) и из подобия треугольников DAO1K и DAOaL.

6) Следует из 1) и 2) и из подобия треугольников DKO1C и DLCOa.

Лемма доказана.

Лемма 2. Для окружностей w(O,R) и w1(O1,R1) условие invOR(w1) = w1 выполнено тогда и только тогда, когда w^w1.

Доказательство. Пусть invOR(w1) = w1, wÇw1 = {A,B} и w1Ç(OO1) = {X,Y}. Тогда invOR(X) = Y. Отсюда |OX|·|OY| = R2 = |OA|2. Поэтому (OA) - касательная к окружности w1. Что означает (OA)^(O1A) и w^w1.

Предположим теперь, что w^w1. Обозначим через w2 = invOR(w1). Из свойства X получаем w2^w. Поскольку существует единственная окружность, проходящая через A и B (по-прежнему, {A,B} = wÇw1) и перпендикулярная w, w2 = w1. Лемма доказана.

Теорема (Фейербах). Окружность Эйлера треугольника ABC касается вписанной и трех вневписанных окружностей этого треугольника.

Доказательство. Сохраним некоторые обозначения леммы 1. Середины сторон треугольника обозначим через A¢, B¢ и C¢ (рис. 14). На отрезке [XXa] как на диаметре построим окружность w. Из леммы 1 сразу получаем, что точка A¢ будет центром w (так как |BX| = |CXa|), а ее радиус R = |XXa|/2 = (a-2|BX|)/2 = (b-c)/2 (далее предполагаем, что b ³ c). Рассмотрим симметрию относительно w. Из условий w1^w и w1^w и из леммы 2 заключаем, что invOR(w1) = w1 и invOR(wa) = wa. Чтобы найти образ окружности Эйлера (wэ) при инверсии относительно w введем дополнительные обозначения.

Рис. 14

Пусть S - общая точка биссектрисы [AOa) и прямых (BC) и (B1C1). Тогда |SC| = ab/(b+c) и |SB| = ac/(b+c). Отсюда

|SA¢| = (|SC|-|SB|)/2 =    a

2 ·           b-c

b+c                               .

Пусть также точки B¢¢ и C¢¢ являются соответственно пересечением касательной (B1C1) с прямыми (A¢B¢) и (A¢C¢). Из подобия треугольников DSA¢B¢¢ и DSBC1 получаем

|A¢B¢¢| = |BC1|·    |SA¢|

|SB|        = (b-c)·                        a

2 ·           b-c

b+c           

a·            c

b+c              

   =          (b-c)2

2c                      .

Поскольку |A¢B¢| = c/2,

|A¢B¢|·|A¢B¢¢| = (b-c)2/4 = R2. (1)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат россия скачать, пример реферата.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата