Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры была поставлена Декартом – задача приводимости уравнений, т. е. представления целого многочлена с рациональными (целыми) коэффициентами в виде произведения многочленов низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения третьей степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, строятся с помощью циркуля и линейки (иначе говоря, уравнение разрешимо в квадратных радикалах) тогда и только тогда, когда уравнение имеет целый корень (т. е. левая часть его может быть представлена в виде произведения множителей первой и второй степеней).

Для уравнения четвертой степени он также указал условие разрешимости; оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты, т. е. соответствующего уравнения шестой степени, кубического относительно у2.

Декарт не показал, как он получил окончательный результат. Ф. Схоотен вывел резольвенту с помощью метода неопределенных коэффициентов. Он представил многочлен четвертой степени в виде x4 – px2 – qx + r = (x2 + yx + z)(x2 – yx +v), откуда получил уравнения для нахождения у, z, у: z – y2 + v = –p, –zy+vy = –q, vz = r.

Разрешающее уравнение (резольвента) имеет вид у6 – 2ру4 + (р2 – 4г)y2 – q2 = 0.

В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графически решал уравнения третьей, четвертой, пятой и шестой степеней, отыскивая их корни как пересечение некоторых линий.

Вклад Декарта в математику не ограничивается одной «Геометрией»: в его переписке содержатся решения многих задач, в том числе связанных с бесконечно малыми.

§3 Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа.

Лейбниц внес большой вклад в развитие математического анализа. Ему принадлежит создание многих символов, которые мы используем сейчас, например, dx, ddx,…, d2x, d3x, , . Но символы эти появились у Лейбница не сразу. Первоначально выражение = хu  (1)

у него выглядело следующим образом: omn. xw = ult. х×omn. w – omn. omn. w. При этом он еще не употреблял привычного нам знака равенства.

В этом выражении omn. – начальные буквы латинского слова omnia, т. е. все, – обозначает объединение, суммирование «всех» бесконечно малых элементов, стоящих под этим знаком, х обозначает абсциссу точки на кривой, исходящей из начала координат, w в этих выкладках Лейбница обозначает то элемент дуги (ds), то дифференциал ординаты (dy), ult. – начальные буквы латинского слова ultima (т. е. последняя) – относится к абсциссе.

Для Лейбница в данном случае его omn.w выступает в роли новой функции, которая сама становится объектом операции, обозначенной omn. Как это обстоятельство, так и то, что он рассматривает результат многократного применения преобразования вида (1) и получает выражения, в которых операция omn. наслаивается несколько раз, заставило его искать более удобное обозначение, и в записи от 29 октября мы читаем: полезно писать вместо omn., так что  будет вместо omn. (- это начальная буква слова summa и Лейбниц называет этот знак суммой). И для нового исчисления, как в той же записи выражается Лейбниц, имеем

, , =, .

Первое из этих соотношений соответствует преобразованию (1), а, b - постоянные, черта сверху играет роль скобки, и она, собственно, лишняя, да и Лейбниц не всегда ее пишет, но ее, пусть несистематическое, появление характерно: так, в записи х мы видим, что пишущему кажется необходимым дополнительно указать, что на х действительно умножаются все , собранные в сумму знаком . Лейбниц далее записывает (по поводу формул (2) и их вариантов): «Это достаточно ново и примечательно, поскольку указывает на новый вид исчисления», и переходит к обратному исчислению (contrario calculo), вводя символ d, который «уменьшает измерение так, как увеличивает », но пишет его в знаменателе (не dy, a y/d).

Тут же читаем: обозначает сумму, d - разность. Несколькими днями позже, в рукописи, помеченной 10 ноября, Лейбниц записывает: «dx — то же самое, что x/d, то есть разность между двумя ближайшими».

Замечательно то, что Лейбниц сразу, введя новое обозначение, начинает с ним обращаться как с символом операции, отделяя его от объекта операций: он сразу отметил, что его «сумма» от (двух) слагаемых равна сумме «сумм» слагаемых и что постоянный множитель или делитель можно выносить за знак «суммы». В записях последующих дней (от 1, 10, 11 ноября) он отмечает такие же свойства операции, обозначенной через d. За эти дни Лейбниц убедился, что d(xy) не то же самое, что dx×dy, и что d(x/y) ¹ dx/dy, но не вывел еще соответствующих формул. Отметил он и что , конечно, не то же самое, что . Он уже систематически использует обратность действий и d, например, после равенства  он пишет: или wz = y2/2d (тут d еще в знаменателе). Отмечены им уже формулы для производной степенной функции при целых показателях степени, например, «из квадратуры треугольника ясно, что y2/2d = у; =  из квадратуры параболы».

А в том, что он открывает здесь нечто весьма существенное, Лейбниц, вероятно, окончательно убедился, когда смог использовать пока как бы нащупываемый им алгоритм при решении задач на обратный метод касательных. Он писал: «Еще в прошлом году я поставил перед собой вопрос, который можно отнести к труднейшим во всей геометрии, поскольку распространенные до сих пор методы здесь почти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я приведу его анализ».

Свою задачу Лейбниц формулирует как определение кривой, у которой поднормали обратно пропорциональны ординатам. Такая задача сводится, в современных обозначениях, к решению дифференциального уравнения ydy/dx = k/y, где k - постоянная. Решение Лейбница состоит по сути в составлении такого уравнения и последующем его интегрировании с помощью разделения переменных. Он получил, таким образом, уравнение искомой кривой, и она оказалась кубической параболой.

По записям Лейбница видно, что к середине 1676 г. он, располагая уже всеми основными правилами дифференцирования и интегрирования, решил еще несколько задач на обратный метод касательных, в том числе знаменитую в XVII в. задачу де Бона, предложенную в свое время Декарту, который не смог получить ее общее решение. И это результат вполне самостоятельного хода мыслей. То, что Лейбниц знал к тому времени относительно результатов Ньютона и Грегори, никак не могло помочь ему пройти избранный им путь. Операционный подход Лейбница к проблеме и его поиски рациональной символики для нового исчисления, в чем наиболее полно выразилась творческая индивидуальность Лейбница, были в достаточной мере чужды его английским соперникам.

Примерно через год после открытий 1675 г., во время поездки по Голландии и после встречи там с Гудде, Лейбниц составил заметку, озаглавленную «Дифференциальное исчисление касательных». Она начинается записями:

d = 1,             d = 2x,                   d = Зх2 и т. д.

d= –,                   d = –,              d= –  и т. д.

d= и т. д.

Отсюда выводится общее правило для разностей и сумм простых степеней:

d= exe-1 и, напротив, = (горизонтальная черта сверху означает взятие в скобки).

Как видно, здесь знак d обозначает операцию вычисления производной. Но Лейбниц еще не вполне выработал к тому времени свою символику и чуть ниже можно прочитать, что «общее правило устанавливается так: и, наоборот, ». Такая редакция общего правила следует за замечанием: «пусть у = x2, тогда будет = 2x, следовательно, = 2x». И на полях, вероятно, позже, Лейбниц написал, что это отличное замечание к его исчислению разностей: «если by+  + etc. = 0, то b+ = 0, и так с остальными». Здесь он начинает свободно обращаться с дифференциалами, как это ему удобно при решении дифференциальных уравнений, не предопределяя, какое из переменных независимое, какое функция.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образ сочинение, реферат бесплатно без регистрации.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата