Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Применим к этому утверждению принцип переноса, получим:

Но бесконечно большие номера будут удовлетворять этому условию при , поэтому для бесконечных  данное неравенство выполнится при , что и означает .

Пусть выполнено условие данного утверждения. Возьмём , то . По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, это и означает, что .

Доказано.

Рассмотрим ещё один пример: доказательство равномерной непрерывности функции на отрезке: функция f равномерно непрерывна на отрезке  тогда и только тогда, когда

 

Доказательство:

Пусть f равномерно непрерывна на отрезке . Тогда для любого  можно найти , такое , что

.

По принципу переноса получается, что   влечёт . Если на самом деле , то заведомо  и, следовательно, . Так как  было произвольное положительное действительное число, то .

Пусть , как только  и . Тогда для любого  получаем, выбирая в качестве  произвольное положительное бесконечное малое,

Используя принцип переноса, получаем стандартное описание равномерной непрерывности.

Доказано.

Рассмотрим доказательство 1ой теоремы Вейерштрасса «нестандартными средствами»: функция, непрерывная на отрезке, является на нём ограниченной.

Доказательство:

Так как функция f непрерывна, то , то есть , то , значит, представляет собой конечное число, при этом отрезок обладает таким свойством: в его расширении любая точка будет бесконечно близкой к некоторой точке самого отрезка. Отсюда все значения функции на расширении отрезка конечны, что означает, что функция ограничена.

Это не верно для интервала, так как в  существуют точки , где , которые бесконечно близки к точке а, которая не входит в интервал.

Доказано.

Что же такое гипердействительное число?

Гипердействительные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкновенных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов. Его определение будет использовать так называемый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел. Объясним, что это такое.

Пусть некоторые множества натуральных чисел называются “большими”, а некоторые – “малыми”, причем выполнены следующие свойства:

Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно.

Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества – малым.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: правовые рефераты, задачи с ответами.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата