Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

.

Здесь пользуются определением не собственного вектора, а почти собственного вектора:

Когда оператор  существует, но этот оператор не ограничен, и уравнение  имеет ненулевое решение, тогда вектор х мы будем называть почти собственным вектором. А число  является элементом непрерывного спектра. Выше мы рассматривали пример линейного оператора, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя: оператор умножения на функцию g(x). Возьмём в качестве функции , тогда резолвента этого оператора запишется в следующем виде , тогда непрерывным спектром будет являться сам отрезок .

Рассмотрим функции вида (Рис. 1):

Рис.1

Где m – некоторая точка отрезка , а . Такие функции будут непрерывны на отрезке  и являются почти собственными векторами оператора умножения на функцию g(x)=х. То есть выполняется: . Покажем это. Для этого надо показать, что . В пространстве  норма такая же, как и в его стандартном аналоге. Интеграл по принципу переноса считается аналогично.

Таким образом, получили, что .

Теорема 3:

Доказательство:

 – ограничен, то ограничен и оператор , то по теореме 1 выполняется . А поскольку он ещё и обратим, то выполняется , так как

По теореме 1условие  означает, что оператор  ограничен, из чего и следует ограниченность оператора .

Доказано.

Теорема 4:

Доказательство:

Пусть есть число , то  – ограничен, а по теореме 3 при этом выполняется условие , поскольку речь идёт о линейных операторах, то можно записать: , а следовательно, , от куда , то есть условие  при .

Пусть есть некоторое число  для оператора , такое, что , но , то условие можно переписать так:

.

Проведём доказательство методом от противного. Предположим, что число , для которого выполняется это условие, принадлежит спектру, но тогда по определению спектра резольвента оператора  является неограниченным оператором, а по теореме 1 не выполнится условие , то есть , где , имеем, с одной стороны,

,

а, с другой,

,

получили противоречие. Значит .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: правовые рефераты, задачи с ответами.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата