Постановка задачи.

По длинной квадратного сечения трубе течет горячая жидкость. Труба наполовину погружена в ледяную ванну, так, что температура нижней половины поверхности трубы равна 00 С. Верхняя плоскость трубы имеет постоянную температуру 100 0 С. На участке между ледяной ванной и верхней плоскостью температура наружной поверхности трубы изменяется линейно по высоте от 0 0
С до 100 0 С. Жидкость внутри трубы имеет температуру 200 0 С.

Рис. 3.

Распределение температуры [pic]в теле трубы удовлетворяет уравнению

[pic]

С погрешностью не более 0,5 0 С вычислить распределение температуры в теле трубы.

|Дискретизаци|Метод конечных разностей |+ |
|я | | |
|задачи |Метод конечных элементов | |
|Решение |Метод Гаусса | |
|системы |Метод Зейделя |+ |
|линейных |Метод последовательной верхней | |
| |релаксации | |
|уравнений |Метод релаксация по строкам | |
|Вывод |Библиотечная графическая подпрограмма| |
|результатов |Алфавитно-цифровой, мозаичный |+ |

Математическая формулировка задачи.

Решить диф.уравнение в частных производных:

[pic] с задаными началиными условиями на границах области дифференцирования.

При решении уравнения приблизительно заменю производные второго порядка конечно-разностными отношениями:

[pic] в результате чего диф.уравнение преобразуется в 5-ти диаганальную систему алгеброических уравнений n-го порядка.

Систему алгеброических уравнений буду решать методом Зейделя.

Погрешность решения задачи найду по формуле:

[pic] где, [pic] и [pic] -решения,полученные для одной и той же точки с разными шагами.

Функциональная схема.

Метод конечных разностей.

Описание метода.
Так назван метод решения краевых задач, основанный на приближенной замене производных, входящих в дифференциальные уравнения и краевые условия, нонечно-разностными отношениями. Эта замена позволяет свести краевую задачу к задаче решения системы алгебраических уравнений.

Конечные разности и производные.Пусть некоторая функция y(x) задана на отрезке [a,b]. Будем считать, что она непрерывна и многократно дифференцируема на этом отрезке. Разделим отрезок на равные части длиною h и обозначим точки деления x0,x1,...,xi,...,xn.Значения функции в этих точках обозначим соответственно y0,y1,...,yi,...,yn.Первой центральной разностью в i-й точке (i=1,2,...,n-1) называют разность:

[pic]

С помощью этой разности можно приближенно вычислить значение первой производной у` в i-й точке.

Разложим функцию y(x) в степенной ряд. приняв за центр разложения точку xi и ограничившись четырьмя членами:

[pic] где [pic]

Аналогично найдем значение ф-ции и в точке[pic],отстоящей от центра разложения на шаг (-h):

[pic] где [pic].