Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Подставляя получим:

[pic]

Таким образом,производная y` приближонно заменяется конечно-разностным отношением с ошибкой порядка h*h:

[pic]

Второй центральной разностью ф-ции y(x) в i-й точке называют величину:

[pic]

С помощью этой разности можно приближонно вычислить значение второй производной y`` в i-й точке.Используем теперь 5 членов разложения в ряд
Тейлора:
[pic]

Таким образом,вторая производная y`` с ошибкой порядка h*h может быть приближонно заменена конечно-разностным отношением:

[pic]

При определении разностей в i -и точке использовались значения функции в точках, расположенных симметрично относительно xi . Поэтому эти разности называются центральными.

Существуют также левые и правые разности, использующие точки, расположенные соответственно левее и правее точки xi. С помощью этих разностей можно также приближенно вычислять значения производных, но погрешность при этом будет больше -порядка h.

Разностные системы уравнений составляются в следующем порядке.
1. Исходное дифференциальное уравнение преобразуют к такой форме, чтобы затем получить из него наиболее простую разностную систему уравнений. При этом учитывают, что коэффициенты при производных войдут в разностную схему одновременно в несколько ее членов и затем будут распространены на всю систему уравнений. Поэтому желательно иметь единичные коэффициенты при производных в исходном уравнении.
2. На интервале интегрирования исходного уравнения устанавливают равномерную сетку с шагом h и записывают разностную схему, приближенно заменяя производные соответствующими центральными конечно-разностными отношениями.
3.Применяя разностную схему для узлов сетки записывают разностные уравнения. При этом можно получить уравнения содержащие так называемые внеконтурные неизвестные, то есть неизвестные в точках, лежащих за пределами установленной сетки.
4.В разностной форме записывают краевые условия и составляют полную систему разностных уравнений.

Оценка погрешности решения краевой задачи

Решение разностной системы уравнений дает приближенное решение краевой задачи. Поэтому возникает вопрос о точности этого приближенного решения.

Для линейных краевых задач доказана теорема о том, что порядок точности решения краевой задачи не ниже порядка точности аппроксимации производных конечно-разностными отношениями. Оценку погрешности производят приемом
Рунге. Краевую задачу решают дважды: с шагом сетки h и с шагом сетки H=kh, погрешность решения с малым шагом h оценивают по формуле:

[pic] где y(h) и y(H) - решения, полученные для одной и той же точки -xi отрезка интегрирования с разными шагами. Относительную погрешность E оценивают по формуле:

[pic]

Если при составлении разностной системы уравнений используются левые или правые разности, то погрешность решения будет выше, порядка 0(h), и для ее оценки в формулах следует заменить k*k на k .

Применение метода конечных разностей для решения уравнений в частных проиэводных
Для применения разностного метода в области изменения независимых переменных вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностями значений функции в узлах сетки и получают таким образом алгебраическуго систему уравнений. Решая эту систему, находят приближенное решение задачи в узлах сетки.

Блок схема.

Подпрограмма МКР. c------------------------------------------------------------------ c ПОДПРОГРАММА СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ c МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ c c real H-шаг по оси X c real K-шаг по оси Y c real N-количество уравнений(примерное число,желательно N=M*P) c real y(6,N)-выходной массив уравнений,содержащий следующие поля: c y(1,N)-номер точки по оси X c y(2,N)-номер точки по оси Y c y(3,N)-коэфициен уравнения для Q(y(1,N)-1,y(2,N)) c y(3,N)=h^2/(2*(h^2+k^2)) c y(4,N)-коэфициен уравнения для Q(y(1,N),y(2,N)-1) c y(4,N)=k^2/(2*(h^2+k^2)) c y(5,N)-коэфициен уравнения для Q(y(1,N)+1,y(2,N)) c y(5,N)=h^2/(2*(h^2+k^2)) c y(6,N)-коэфициен уравнения для Q(y(1,N),y(2,N)+1) c y(6,N)=k^2/(2*(h^2+k^2)) c integer M-число узлов по оси X c integer P-число узлов по оси Y c real Q(M,P)-массив значений Y c integer N-выходное количество получившихся уравнений c------------------------------------------------------------------ subroutine mkr(H,K,N,y,M,P,q) integer M,P,IIX,IIY,NN,N,KR1,KR2,KR3 real y(6,N),H,K,q(M,P),HX,KY

c----------------------------------------------------------------- c подсчитываю коэфициенты c h^2/(2*(h^2+k^2)) c и c k^2/(2*(h^2+k^2)) c-----------------------------------------------------------------

HX=H**2/(2*(H**2+K**2))

KY=K**2/(2*(H**2+K**2))

c----------------------------------------------------------------- c составление уравнений c и c присваивание начальных значений c c nn-счетчик уровнений c iix-номер текущего узла по оси X c iiy-номер текущего узла по оси Y c-----------------------------------------------------------------

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат техника, решебник 6 класс виленкин.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата