Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Предполагая, что диагональные коэффициенты aii0
(i=1,2,..,n) разрешим первое уравнение относительно y1 , второе - относительно y2 и т.д.
Тогда получим эквивалентную систему

[pic]

где

[pic] при ij

и

[pic] при i=j (i,j=1,2,...,n)

Такую систему будем в дальнейшем называть приведенной.

Метод Зейделя заключается в следующем. Выбрав вектор начального приближения y(ср)=(y1,y2,...,yn) подставим его компоненты в правую часть первого уравнения системы и вычислим первую компоненту y`1 нового вектора y`(ср) . В правую часть второго уравнения подставим компоненты (y`1,y2,y3,...,yn) и вычислим вторую компоненту y`2'нового вектора. В третье уравнение подставим
(y`1,y`2,y3,...,yn) и т.д. Очевидно,подстановкой в каждое уравнение мы, дойдя до последнего уравнения, обновим все компоненты исходного вектора и получим первое приближение к решению y`(ср)=(y`1,y`2,y`3,...,y`n)

Далее , взяв в качестве исходного вектор у`(ср) , выполним вторую итерацию и получим y``(ср). Этот процесс будем продолжать до достижения заданной степени точности.

Оценка погрешности приближений процесса Зейделя
Для оценки погрешности прежде всего вычисляют показатель скорости сходимости

[pic]

То есть для каждой строки матрицы коэффициентов системы [pic] вычисляется сумма модулей коэффициентов, лежащих правее главной диагонали
[pic] :

[pic] и сумма модулей коэффициентов, лежащих левее главной диагонали:

[pic]
Для каждой i-й строки (i =1,2,...,n ) вычисляется отношение

[pic] и в качестве [pic]берется максимальное из этих отношений. Чем меньше окажется [pic], тем большей будет скорость сходимости.

Для процесса Зейделя справедлива следующая оценка погрешности К-го приближения:
[pic] (i,j=1,2,...,n)

то есть модуль отклонения любого i -го корня системы в К-м приближении от точного значения того же корня [pic] не больше, чем умноженное на множитель
[pic] максимальное из приращений корней, полученных в результате перехода от (K-1) -го приближения к К-му.

Если задаться абсолютной погрешностью [pic]и потребовать выполнения условия

[pic] (j=1,2,...,n)

то выполнится и условие

[pic]

(i=1,2,3,...,n), то есть заданная степень точности на К-й итерации будет достигнута. На практике это означает, что после каждой итерации необходимо выделить тот корень, изменение которого по сравнению с предыдущим значением оказалось наибольшим по модулю. Модуль приращения этого корня необходимо умножить на
[pic] и сравнить результат с выбранной абсолютной погрешностью[pic].

Достаточные условия сходимости процесса Зейделя

Если модули коэффициентов системы удовлетворяют хотя бы одному из условий
[pic] (i,j=1,2,3,...,n)

то процесс Зейделя для соответствующей приведенной системы сходится к её единственному решению при любом выборе начального вектсра y(ср) Такие системы называют системами с диагональным преобладанием.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат техника, решебник 6 класс виленкин.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата