Современная гуманитарная академия

Реферат по предмету «Алгебра и геометрия» на тему:

«Топологические пространства»

Выполнил:

Макриденков С.А. гр. ОИН-309-02

Смоленск 2004

Содержание

Введение 3

Основные этапы развития топологии 5

Определение топологического пространства 7

Задачи топологии 10

Виды топологии 12

Введение

Любой человек, изучавший начала математического анализа, понимает важность понятия непрерывности функции. Немного упрощая ситуацию, можно сказать, что непрерывность числовой функции - это математическая формализация следующего свойства: график этой функции можно нарисовать на листе бумаги, не отрывая карандаша, то есть график нигде не разрывается.
Числовая функция есть частный случай более общего понятия отображения, которое определяется уже не для чисел, а для элементов произвольных множеств. Возникает вопрос, можно ли определить понятие непрерывности отображений на множествах. Оказывается, для того чтобы корректно ввести это понятие, необходимо задать на множествах дополнительную структуру, так называемую топологию; множество с указанной структурой называется топологическим пространством. Математическая дисциплина, изучающая указанные выше понятия (и не только их), тоже называется топологией.

Топологическое пространство — основной объект изучения топологии.
Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.

Определение. Пусть дано множество X. Множество T его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:

- Все X и пустое множество принадлежат T,

- Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T, принадлежит T,

- Пересечение двух множеств, принадлежащих T, принадлежит T.

Множество X вместе с заданной на нем топологией T называется топологическим пространством. Подмножества X, принадлежащие T, называются открытыми множествами

Способы задания топологии. Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии: множество B открытых подмножеств топологического пространства
(X, T) называется базой топологии T, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из B.

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании ее предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов.

Топологию можно также задать описав множество Q всех замкнутых множеств (т.е. всех дополнений к открытым множествам).

Примеры. Вещественная прямая R является топологическим пространством, если назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных интервалов (a, b) является базой этой топологии.

Вообще, евклидовы пространства Rn являются топологическими пространствами. Базой топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.