Топологические пространства

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: контрольные 5 класс, банк рефератов бесплатно
| Добавил(а) на сайт: Гремпель.

Примером топологического пространства является числовая прямая с множествами, открытыми в обычном смысле. Действительно, вся числовая прямая очевидным образом открыта, пустое множество включают в число открытых по определению (это непротиворечиво, поскольку в пустом множестве нет точек, тогда можно считать, что каждая из них (!) входит в пустое множество с некоторой e-окрестностью). Как уже сказано выше, свойства (ii) и (iii) выполнены. Топологию, состоящую из обычных открытых множеств на числовой прямой, будем называть обычной топологией.

Приведем еще два примера. На любом X рассмотрим топологию, в которой всего два множества: все X и пустое. Такая топология называется тривиальной. Противоположная ситуация - на любом X включим в топологию вообще все подмножества X (в частности, все его точки, то есть одноточечные подмножества), само X и пустое подмножество. Эта топология называется дискретной.

Обратите внимание, что тривиальную и дискретную топологию мы задали описав все входящие в них множества. С обычной топологией мы не смогли это сделать, и нам пришлось описывать ее с помощью свойства, которому удовлетворяют ее множества. Чтобы избежать этого неудобства, было введено понятие базы топологии.

Определение 3. Набор открытых множеств S называется базой топологии t, если любое множество из t есть (возможно, бесконечное) объединение множеств из S.

Базой обычной топологии на прямой являются e-окрестности.
Действительно, обычное открытое множество характеризуется тем, что каждая его точка имеет некоторую e-окрестность, входящую в это множество. Так что очевидно, что само множество есть объединение указанных e-окрестностей всех его точек.

Приведем еще два примера. Первый из них - топология Зарисского на числовой прямой - интересен (кроме всего прочего) тем, что возник в реальной математической задаче, а не как экзотический пример для учебника.
В эту топологию включены вся прямая и пустое множество, а также все множества на прямой, дополнения до которых состоят из конечного числа точек.

Следующая топология на числовой прямой состоит из всей прямой и пустого множества, а также всех открытых интервалов вида (a, + ?), где a - точка прямой. Эта топология называется правой. Отметим, что в точности аналогично можно задать и левую топологию.

Топология может наследоваться. Например, в плоскости имеется топология, состоящая из обычных открытых множеств (аналогично случаю числовой прямой). Тогда на лежащей в плоскости прямой возникает топология, в которой открытыми множествами являются пересечения с этой прямой множеств, открытых в плоскости. Эта топология называется индуцированной. В рассматриваемом примере индуцированная топология - это обычная топология на прямой.

В некоторых случаях различные топологии на одном и том же множестве можно сравнивать между собой. Говорят, что топология t на X сильнее топологии s на том же множестве, если все множества, входящие в s, входят также и в t. Очевидно, что любая топология сильнее, чем тривиальная, а дискретная сильнее любой топологии. Также понятно, что обычная топология сильнее, чем топология Зарисского и чем правая топология, и в то же время топологию Зарисского и правую топологию сравнить между собой нельзя - ни одна из них не является более сильной, чем другая (более того, докажите, что если некоторое множество числовой прямой входит сразу в обе эти топологии, то это либо вся числовая прямая, либо пустое множество).

Определение 4. Окрестностью точки в топологическом пространстве называется любое открытое множество, содержащее указанную точку.

Очевидно, что в обычной топологии понятие окрестности удовлетворяет данному определению.

Используя введенное определение окрестности, нетрудно доказать следующее свойство открытых множеств любого топологического пространства: множество A открыто тогда и только тогда, когда каждая точка x из A имеет окрестность, целиком входящую в A. Докажите это утверждение самостоятельно.
Обратите внимание, что характеристическое свойство обычных открытых множеств на числовой прямой является частным случаем этого утверждения.

Задачи топологии

Пусть задано отображение F: X Y, где X и Y - топологические пространства с топологиями соответственно t и s. Поскольку мы ввели определение окрестности точки в топологическом пространстве, можем дать определение непрерывности F в точке аналогично определению 1'.

Определение 5. Отображение F называется непрерывным в точке x k X, если для любой окрестности U k k s точки f (x) в Y существует окрестность V k t точки x в X, такая, что из того, что точка x' принадлежит V, следует, что f (x') принадлежит U.

Определение 6. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X, называется непрерывным на X.

В случае, когда множество X зафиксировано, будем называть отображения просто непрерывными, не указывая X.

Непрерывные отображения характеризуются следующим свойством.

Теорема. Отображение F : X Y непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого множества U k s пространства Y его прообраз V = F
-1(U) принадлежит t, то есть является открытым множеством топологического пространства X.

Доказательство. Пусть F непрерывно, то есть удовлетворяет определению
6. Выберем открытое множество U в Y. Поскольку U - окрестность каждой своей точки y = F (x), x k V = F -1(U ), то, по определению 5, каждое x имеет окрестность Vx , такую, что F (Vx) K U. Из последнего включения, в частности, следует, что Vx K V, так как, по определению, V есть множество всех точек x из X, таких, что F (x) k U. Тогда Действительно, так как каждое x принадлежит своему Vx , содержит все x, то есть включает в себя V.
Кроме того, так как все Vx содержатся в V, то и их объединение содержится в
V. Из двух включений и следует равенство Таким образом, V есть объединение открытых множеств Vx , то есть оно само открыто по свойству (ii) топологии.

Теперь пусть для любого открытого множества U топологического пространства Y (то есть U k s) множество V = F -1(U ) открыто в X (то есть принадлежит t). Покажем, что выполнено определение 5 в каждой точке x k X.
Выберем произвольную окрестность UF (x) точки F(x) в Y. Это открытое множество, и поэтому Vx = = F -1(UF (x)) открыто в X и при этом по построению F (Vx) = UF (x) . Итак, для любой окрестности UF (x) точки F (x) существует окрестность Vx точки x, такая, что F (Vx) содержится в UF (x) , то есть выполнено определение 5. Теорема доказана.

Эта теорема дает очень простой критерий непрерывности отображений топологических пространств. Он очень полезен даже для случая числовых функций, хотя и не входит в традиционный стандартный курс математического анализа.

Полученная нами теорема также позволяет строить новые топологии следующим образом. Пусть задан некоторый класс отображений F (обозначим этот класс через {F }) из множества X в числовую прямую R с обычной топологией (или в любое другое топологическое пространство - в этом случае конструкция аналогична). Зададим набор t подмножеств в X, включив туда множества вида F -1(U ) для всех открытых множеств U в R и для всех отображений F из {F }, все их объединения и конечные пересечения, а также все X и пустое множество. Полученный набор t будет топологией. При этом по теореме из построения следует, что все отображения из {F } будут непрерывными! Подобные топологии часто используются и оказываются весьма полезными.

Определение 7. Отображение F из топологического пространства X в топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если выполнены следующие три условия: (i) F непрерывно; (ii) F взаимно однозначно (то есть для любого y k Y существует x k X, такое, что F (x) = y, и указанное x единственно; в частности, существует обратное отображение F -1: Y X );
(iii) отображение F -1 непрерывно.

Если существует гомеоморфизм F : X Y, то говорят, что X и Y гомеоморфны друг другу. В этом случае мы можем наложить X на Y без самопересечений и разрывов, приклеивая x k X к F (x) k Y. Так что получается, что X и Y устроены одинаково.