Топологические пространства

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: контрольные 5 класс, банк рефератов бесплатно
| Добавил(а) на сайт: Гремпель.

Понятия гомеоморфизма и гомеоморфности являются центральными для многих разделов топологии, в которых изучаются характеристики, описывающие гомеоморфные пространства. Поскольку гомеоморфные пространства устроены одинаково (см. выше), то их можно не различать, то есть считать разными экземплярами одного и того же объекта. Существует крылатая фраза, что тополог (математик, занимающийся топологией) - это человек, не отличающий бублик от чайной чашки (задача: постройте гомеоморфизм между бубликом и чашкой с одной ручкой!). Это означает, что наиболее общие (топологические) свойства бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку).

Другие разделы топологии изучают характеристики непрерывных отображений и некоторые другие вопросы. При этом часто получаются результаты, важные для приложений. Например, удается вычислить некоторые характеристики непрерывных отображений, входящих в определенные уравнения, которые показывают, имеет ли это уравнение решение. Это очень важно в случаях, когда явно решить уравнение невозможно (не удается найти формулу для решения).

Виды топологии

Итак, в произвольном топологическом пространстве мы можем (в определенных пределах) работать так же успешно, как на числовой прямой, и этим топологические пространства похожи друг на друга. Однако каждое топологическое пространство обладает специфическими свойствами, которые иногда резко отличаются от свойств числовой прямой.

Известны пять так называемых (основных) аксиом отделимости, из которых мы приведем три простейшие. Отметим, что числовая прямая с обычной топологией удовлетворяет всем пяти аксиомам. Пространства, удовлетворяющие только некоторым из них, естественно, отличаются от нее своими свойствами.
Итак,

Аксиома Т0 (аксиома Колмогорова). Для любых двух не совпадающих точек хотя бы одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Очевидно, что для тривиальной топологии аксиома Т0 не выполняется: в этой топологии есть ровно одно непустое открытое множество - всё X, поэтому всё X будет единственной возможной окрестностью для любой точки и для произвольной пары точек их "любые" окрестности просто совпадают. Все остальные пространства, описанные выше, этим свойством обладают
(докажите!).

Аксиома Т1 . Для любых двух не совпадающих точек каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Нетрудно видеть, что пространство, удовлетворяющее аксиоме Т1 , удовлетворяет и аксиоме Т0 , а не удовлетворяющее аксиоме Т0 , не удовлетворяет и аксиоме Т1 . Так что пространство с тривиальной топологией не удовлетворяет аксиоме Т1 . Числовая прямая с правой топологией тоже не удовлетворяет Т1 . Действительно, пусть x < y. Тогда, взяв x

Отметим, что числовая прямая с топологией Зарисского удовлетворяет аксиоме Т1 . Действительно, для x ? y окрестностью точки x, не содержащей y, является дополнение R y, а окрестностью точки y, не содержащей x, является R x. Легко видеть, что прямая с обычной и дискретной топологиями удовлетворяют аксиоме Т1 .

Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Для любых двух не совпадающих точек у каждой из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.

Понятно, что из выполнения аксиомы Т2 следует выполнение аксиомы Т1 , и, значит, если не выполняется аксиома Т1 , то не выполняется и аксиома Т2
.

Числовая прямая с топологией Зарисского не удовлетворяет аксиоме Т2 .
Действительно, поскольку в этой топологии открытое множество определяется как множество, дополнение до которого состоит из конечного числа точек, а в прямой число точек бесконечно, то любые два открытых множества (в том числе любые две окрестности) пересекаются по бесконечному числу точек.

Очевидно, что прямая с обычной и прямая с дискретной топологиями удовлетворяют аксиоме Т2 .

Влияние аксиом отделимости на свойства топологических пространств проиллюстрируем на примере понятия предела последовательности, изучаемого в старших классах школы. В топологическом пространстве определение предела выглядит следующим образом (сравните с обычным определением).

Определение 8. Точка x k X называется пределом последовательности точек x1 , x2 , _, xn , _ из X, если для любой окрестности U точки x существует номер N = = N(U ), такой, что для всех n > N точки xn лежат в U.

Например, в обычной топологии на прямой пределом последовательности 1, является точка 0, для "постоянной" последовательности a, a, _, a, _ (a - фиксированное число) предел равен a и последовательность 1, 2, 3, _, n, _
(натуральный ряд) не имеет предела. В обычной топологии предел последовательности может быть только один, если он вообще существует, и он находится как бы рядом с точками последовательности (это верно для любого пространства, удовлетворяющего аксиоме T2).

Для пространств, не удовлетворяющих каким-нибудь аксиомам отделимости, свойства пределов могут быть весьма необычными.

Утверждение 1. В правой топологии на прямой любая точка b

Действительно, окрестность точки b в правой топологии есть множество вида (c, ?), где c < b. Поскольку b

Теперь рассмотрим прямую с топологией Зарисского. Здесь имеется еще более впечатляющий пример предела последовательности.

Утверждение 2. В топологии Зарисского любая точка x k R является пределом натурального ряда.

Действительно, зафиксируем произвольную окрестность U точки x. По определению топологии Зарисского, дополнение U до R состоит из конечного числа точек. Поскольку в натуральном ряду бесконечное число точек, отсюда следует, что в U содержится бесконечное число его точек, то есть начиная с некоторого N все точки n > N лежат в U.

Обычная и дискретная топологии удовлетворяют аксиомам Т0-Т2 , и в них не существует столь экзотических примеров пределов. Однако не следует думать, что дискретная топология очень похожа на обычную. Напомним, что в дискретной топологии открытым является любое множество, то есть, в частности, любая точка x является сама своей окрестностью (чтобы не запутаться, обозначим эту окрестность через {x}). Понятно, что в этом случае в окрестности {x} точки x нет точек, отличных от x, то есть любая фиксированная точка x может быть пределом только таких последовательностей, у которых начиная с некоторого N все члены xn > N равны x.

Имеется еще одна важная система аксиом, относительно которых, кстати, различаются две последние топологии.

Определение 9. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если топология этого пространства имеет базу, состоящую из счетного набора множеств (то есть множества, входящие в эту базу, можно занумеровать натуральными числами).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: allbest, шпаргалки по математике.