Топологические пространства

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: контрольные 5 класс, банк рефератов бесплатно
| Добавил(а) на сайт: Гремпель.

Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. В эту категорию попадают изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные пространства функций.

Рассмотрим множество С(X, Y) непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Ее предбазу составляют множества C(U, K), состоящие из отображений, при которых обаз компакта K в X лежит в открытом множестве U в
Y.

Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной.

Непрерывные отображения. Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния.
Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств f: (X,TX) > (Y,TY) называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория Top всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в
18—19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое — М. Фреше, топологическое —
Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л.
Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится
(Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в
1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э.
Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.

Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун — чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер, А. Н. Колмогоров) вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий
(Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин).
Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С.
Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин); вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).

Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Т. и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории (би)компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов (А.В. Архангельский,
Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов и др.).

Усилиями ряда учёных (Ж. П. Серр и А. Картан во Франции, М. М.
Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Т. в США,
Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Т.
Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора (М. Атья,
Великобритания; Ф. Хирцебрух, ФРГ), алгебраическая Т. получает широкие применения в гладкой Т. (Р. Том, Франция) и алгебраической геометрии
(Хирцебрух); развивается теория (ко)бордизмов (В. А. Рохлин, СССР; Том, С.
П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США).

Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется.

Определение топологического пространства

Напомним классическое определение непрерывности числовой функции f в точке x, восходящее к Коши.

Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x, если для любого e > 0 существует d = d(e) > 0, такое, что если для точки x' выполнено неравенство | x - x' | < d, то | f (x) - f (x') | < e.

Введенное выше определение допускает модификацию, удобную для дальнейшего изложения.

Определение 1'. Функция f называется непрерывной в точке x, если для любой окрестности U точки f (x) существует окрестность V точки x, такая, что из того, что точка x' принадлежит V, следует, что f (x') принадлежит U.

Нетрудно видеть, что для числовых функций определения 1 и 1' эквивалентны, поскольку, с одной стороны, множество точек x', таких, что | x - x' | < d, является окрестностью точки x, называемой d-окрестностью x
(соответственно множество точек y, таких, что | f (x) - y | < < e, является окрестностью точки f (x), называемой e-окрестностью f (x)), а с другой стороны, внутри любой окрестности U точки f (x) содержится e-окрестность для достаточно малого e (соответственно в любой окрестности V точки x содержится d-окрестность для достаточно малого d).

Рассмотрим два множества: X и Y. Говорят, что задано отображение F : X
Y, если задано правило (закон), по которому каждому элементу x из X поставлен в соответствие элемент y = F (x) из Y. Числовая функция является наиболее известным примером отображения. В этом случае обычно X = Y = R - множество вещественных чисел (числовая прямая), а закон F задается формулой: например, вещественному числу x ставится в соответствие вещественное число sin x (в этом случае F есть функция "синус").

Понятие отображения определено для любой пары произвольных множеств.
Однако можно ли в произвольном случае дать определение непрерывности F по аналогии с определением 1 или определением 1'? Нетрудно видеть, что этого сделать нельзя, поскольку на произвольных множествах нет ни понятия окрестности, используемого в определении 1', ни понятия d-окрестности (e- окрестности), используемого в определении 1. Так что для введения корректного определения понятия непрерывности F мы должны либо ввести предварительно понятие окрестности вообще, либо понятие e-окрестности. На примере числовых функций видно, что e-окрестности являются частным случаем окрестностей вообще, и если мы хотим дать наиболее общее определение непрерывности, мы должны сосредоточить свое внимание на корректном введении понятия просто окрестности точки в произвольном множестве.

Множество, на котором "правильно" введено понятие окрестности, называется топологическим пространством. Подчеркнем: требование, чтобы множество было топологическим пространством, является минимальным для того, чтобы было корректно определено понятие непрерывного отображения. Отметим для полноты, что множество, на котором корректно введено понятие e- окрестности, называется метрическим пространством и метрическое пространство является частным случаем топологического. В настоящей статье мы не будем рассматривать метрические пространства. Это понятие освещается в других статьях настоящего журнала.

В математическом анализе широко используется понятие открытого множества (например) на числовой прямой: множество называется открытым, если для любой его точки достаточно малый интервал с центром в этой точке
(то есть e-окрестность для достаточно малого e) целиком входит в это множество. Для открытых множеств выполняются два важных свойства: объединение любого (даже бесконечного) набора открытых множеств есть открытое множество и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Оказывается, если некоторый набор множеств обладает этими свойствами, то с множествами из указанного набора можно работать во многом так же, как с обычными открытыми множествами

Рассмотрим произвольное множество X.

Определение 2. Набор t подмножеств множества X называется топологией, если он обладает следующими свойствами: i. X и пустое множество входят в t; ii. объединение любого семейства множеств из t принадлежит t; iii. пересечение любого конечного числа множеств из t принадлежит t.

Если набор t задан, X называется топологическим пространством, а входящие в t множества называются открытыми.