Три кризиса в развитии математики

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинения по литературе, культурология
| Добавил(а) на сайт: Пелагея.

1. Особенности способов обоснования математики в конце XVII и в XVIII веке
11
2. Разработка способов обоснования математики в последней четверти XVIII и первой половине XIX века 21

III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала
XX века 34

1. Теория множеств. Основные понятия учения о множествах Г. Кантора
34
2. Трудности построения теории множеств. Критика концепции Г. Кантора
35
3. Парадоксы (антиномии) теории множеств 39
4. Аксиоматические построения теории множеств по Цермело 41
5. Проблема существования в математике 45

Список литературы. 48

Введение

Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков. Эти трудности роста математики — трудности её обоснования: они были, есть и будут в дальнейшем.

Трудности обоснования математики играют наиболее значительную роль в развитии математики тогда, когда возникает необходимость в коренной переработке основ и методологии всех (или достаточно большого числа) математических теорий. В этих случаях говорят о кризисе основ математики.
Известны три таких кризиса.

Впервые кризис основ наук возник в математике в древней Греции, в начале её формирования как научной системы. Второй имел место в конце XVII и в XVIII веке. Третий возник в конце XIX века, он не преодолен и в наше время и оказывает влияние на развитие современной математики.

Мы рассмотрим сущность этих кризисов математики, имея в виду преимущественно подтверждение выводов, сделанных ранее о закономерностях развития математики как теории.

I. Способы обоснования математики в

древней Греции от Пифагора до Евклида.

1. Математика пифагорейцев

Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571–479 гг. до н. э.).

Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию — открытие новых математических фактов. По форме — построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.

Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.
Наличие у пифагорейцев учения о паралельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.

Успехи пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников — тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет).

Однако они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел
(пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т. е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). По видимому, они установили, что если число 2п–1 является простым, то число 2п–1((2п–1)
— совершенное. Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.

По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному.

[pic]Рис. 1

Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного (рис. 1).

Пусть, действительно, диагональ АВ соизмерима со стороной АС квадрата
АСВД.

Тогда [pic], где р и q — натуральные числа. Дробь [pic] можно считать несократимой (иначе её можно было бы сократить); значит, р или q будет числом нечетным.

Примем АС=1. По теореме Пифагора должно быть: