Три кризиса в развитии математики

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинения по литературе, культурология
| Добавил(а) на сайт: Пелагея.

К середине XVIII века описанная трактовка законов математического анализа и алгебры стала настолько общепринятой, что Л. Эйлер счел возможным истолковать её как основной принцип методологии анализа вообще. Случилось это при следующих обстоятельствах.

В начале XVIII века между Лейбницем и И. Бернулли возник спор о
“природе” логарифмов отрицательных чисел. И. Бернулли полагал, что при х>0, ln(–x)=ln x, так как [pic].

Лейбниц не согласился с И. Бернулли; он утверждал, что отрицательное число имеет бесчисленное множество логарифмов, причем все они — числа комплексные. Среди других своих аргументов Лейбниц указал, что правило дифференцирования ln x, установленное для х>0, не обязательно должно быть справедливым и для ln(–x).

При помощи особой аргументации Л. Эйлер решил спор в пользу Лейбница.
Однако указанный аргумент Лейбница Эйлер решительно отклонил. “Это возражение,— указывал Эйлер,— если бы оно было верно, поколебало бы основное положение всего анализа, заключающееся, в основных чертах, в общности правил и операций, признаваемых справедливыми, какова бы ни была природа количеств, к которым они прилагаются”.

Как мы видим, подход математиков в XVIII веке к выяснению границ приложимости методов математики и трактовка её принципов были явно метафизическими.

В XVIII веке доказательство теорем математического анализа нередко проводили, опираясь на господствовавшие тогда механические и геометрические представления. Начало широкому использованию механических представлений как базы математического анализа положил Ньютон в своем учении о флюентах и флюксиях. Что же касается указанного использования геометрических представлений, то проще всего выяснить суть дела на следующем примере.

В наше время теорема о прохождении непрерывной функции через нулевое значение доказывается в классическом математическом анализе чисто аналитически с использованием понятия бесконечного множества. В XVIII веке если эта теорема и доказывалась, то чаще всего указанием на то, что непрерывная кривая f(x), соединяющая точки А и В, расположенные в плоскости по разные стороны оси ОХ, существует по меньшей мере одна точка с абсциссой х=с, a