Три кризиса в развитии математики

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: сочинения по литературе, культурология
| Добавил(а) на сайт: Пелагея.

Пробуждение особого интереса к этим задачам именно в древней Греции не случайно. При построении математики как дедуктивной системы, базирующейся на геометрическом фундаменте две первые задачи появляются как естественные обобщения более элементарных задач. Задача о квадратуре круга была получена
“по наследству” от древних египтян и вавилонян.

Трисекция угла. Дан (АВС, требуется разделить его на три равные части.
Формулировка задачи относится к любому углу и является обобщением задачи о делении данного угла на две равные части.

[pic]Рис. 2

Удвоение куба. Построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба. Построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Если сторона данного квадрата а, а искомого х, то х2=2а2;
[pic]. Следовательно, сторона искомого квадрата равна диагонали данного.
Отсюда осуществимость построения циркулем и линейкой искомого квадрата
AA`CC` (рис. 2).

Вполне естественно было перейти от этой задачи на плоскости к соответствующей задачи в пространстве: построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба.

Квадратура круга. Построить квадрат, по площади равный данному кругу.

Ни одна из указанных задач не разрешима циркулем и линейкой.

4. Преодоление кризиса основ

древнегреческой математики

Пифагорейцы заложили основы геометрической алгебры. Теэтет и Евклид установили классификацию квадратичных иррациональностей.

Евдопс развил общую теорию пропорций — геометрический эквивалент теории положительных вещественных чисел — и разработал метод исчерпывания — зачаточную форму теории пределов, основанную на геометрической базе. Эти теории создали прочный каркас здания древнегреческой математики, фундаментом которого была геометрия; тем самым преодолевались трудности, связанные с фактом существования несоизмеримых величин.

Чтобы избежать трудностей в обосновании математики, связанных с парадоксами бесконечности (Зенон, Аристотель), большинство ученых древней
Греции предпочли отказаться от использования в математике идей бесконечности и движения или свести их применение к минимуму. В качестве такого минимума было принято утверждение о неограниченной делимости геометрических величин.

Рассмотрение трех знаменитых задач привело древнегреческих ученых к убеждению, что решение геометрической задачи может считаться выполненным строго геометрически лишь при условии использования только (идеальных) циркуля и линейки. Использование механических средств в геометрии не допускается.

Только после основополагающих работ пифагорейцев, Теэтета, Евдокса и других математиков, после соглашения о необходимых ограничениях и допустимых средствах построения, Евклид написал “Начала”, посвященные основам и методам древнегреческой математики. В “Началах” Евклида кризис основ древнегреческой математики был преодолен — конечно, для своего времени, и, добавим, преодолен не во всех пунктах и не всегда совершенным образом.

II. Способы обоснования математики в

XVIII и в первой половине XIX века

1. Особенности способов обоснования

математики в конце XVII и в XVIII веке

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.

В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики. Значительные результаты были получены в алгебре и теории чисел.
А. Эйлер, а вслед за ним и некоторые другие ученые второй половины XVIII века проделали большую работу по систематизации содержания математических дисциплин, в первую очередь математического анализа, а вместе с ним алгебры и тригонометрии.

Вместе с тем, в рассматриваемый период способы обоснования математических теорий — особенно дифференциального исчисления — резко отставали от бурно развивающегося содержания математики. Это отставание проявилось в различных, между собой связанных формах и притом своеобразно в отдельных математических теориях.

Общей чертой попыток обоснования математики с конца XVII и планомерно до последней четверти XVIII века было стремление обосновать каждую математическую теорию в полном соответствии с истинами элементарной,
“низшей” (по терминологии Ф. Энгельса) математики, т. е. элементарной математики, какой она была примерно до открытия аналитической геометрии.
Это стремление проявилось в двух формах. Сначала математики пытались воздвигнуть развиваемые ими математические теории на фундаменте, построенном в свое время для обоснования “низшей” математики. Это хорошо показывают господствовавшие в то время способы обоснования алгебры и учения о числе. Если же такое построение явно не удавалось (что было особенно ясно в отношении дифференциального исчисления с момента его возникновения), то старались обосновать математическую теорию на принципах, специально для неё разработанных, содержание которых можно максимально согласовать,
“примирить” (Энгельс) с истинами “низшей” математики.

Иначе говоря, в обоих случаях принципы и утверждения “низшей” математики метафизически абсолютизировались, рассматривались как незыблемый фундамент каждой математической теории.

В конце XVII и особенно в первых трех четвертях XVIII века основные понятия и законы, установленные в одной математической теории часто переносились в новые области исследования, совершенно формально, т. е. без обоснования.

Законы алгебры и математического анализа формировались без указания переменных, для которых они справедливы, и без указания границ их применимости. Такая трактовка законов алгебры и математического анализа, естественно, распространялась и на основывающиеся на них алгоритмы.