Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Волновое уравнение (1.1) имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип суперпозиции решений уравнения (1.1) и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, которую наблюдал Рассел, следует, что ее значение зависит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1.1), такой зависимости нет.

Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1) можно убедиться, что зависимость u(x,t)=a cos(kx-(t) (1.3) в которой а, k и ( — постоянные, при ( =±k является решением уравнения
(1). В этом решении а — амплитуда, k — волновое число, а ( — частота.
Приведенное решение представляет собой монохроматическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью cp=[pic] (1.4)

На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения пакета характеризуется групповой скоростью

Cg=[pic], (1.5) определяемой через производную от частоты ( по волновому числу k.

Определить, с какой (линейной или нелинейной) моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформулирована, то решение этого вопроса упрощается и выполнение принципа суперпозиции решений можно проверить.

Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными.
Только в предельном случае малых амплитуд эти волны могут считаться линейными.

Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уединенной волне отметил, что звук от выстрела пушки распространяется в воздухе быстрее, чем команда произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газовой динамики.

Уравнение Кортевега - де Фриса

Окончательная ясность в проблеме, которая возникла после опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских ученых Д .Д. Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в существе наблюдений
Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фрис, используя уравнения гидродинамики, рассмотрели отклонение и(х,t) от положения равновесия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности воды.
Сделанные ими начальные приближения были естественны. Они также предположили, что при распространении волны выполняются два условия для безразмерных параметров

(=[pic] 0 производной [pic] в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и l.

Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При помощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о разрешимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C((О, Т; S(R1)).

Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно найти в [16].

4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения
КдФ существует бесконечное число законов сохранения. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для доказательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.

Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для задачи Коши на R1 и периодической задачи.

Для получения первого закона сохранения достаточно проинтегрировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Получим:

[pic]

[pic] отсюда и следует первый закон сохранения:

Здесь в качестве a и b выступают +( и -( для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

[pic](4.2)

Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравнение (3.2) на 2 u(t,x) и проинтегрировать по пространственной переменной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям получим:

[pic]

но в силу "краевых" условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются

[pic]

Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:

[pic] (4.3)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник 10 класс, бесплатно ответы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата