Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Раздел 2 посвящён проблемам сводимости "макроскопического" хаоса к "микроскопическому" и проблеме обратимости времени. Существенно, что и в классической механике, и в копенгагенской интерпретации квантовой механики описание необратимого  поведения макроскопических систем исходя из обратимых микроскопических законов наталкивается на существенные трудности.

В разделе 3 вкратце описаны основные интерпретации квантовой механики: копенгагенская, статистическая, многомировая интерпретация Эверетта. Основное же внимание уделяется брюссельской интерпретации квантовой механики, развиваемой И.Пригожиным. Особенности её математического аппарата поясняются на простых примерах динамических систем, уже рассмотренных в предыдущих разделах. Общая концепция неунитарной эволюции приводит к тому, что единственно адекватным становится статистическое описание систем – как классических, так и квантовых. Для случая последних проясняются некоторые известные парадоксы известных интерпретаций квантовой механики, связанные с ролью внешнего наблюдателя.

К сожалению, идеи И.Пригожина требуют для своего изложения (даже в популярном виде) существенного использования математического аппарата, что привело к некоторой перегруженности текста формулами. Автор, однако, надеется, что "лес" за "деревьями" не скрылся, и основные положения физической концепции Брюссельской школы нашли отражение в настоящей работе.

1. ХАОС

Их либе жизнь и обожаю хаос...

И.Бродский, "Два часа в резервуаре"

   1.1 Классический динамический хаос: неустойчивость по начальным условиям

Хаотическое поведение может возникать даже в очень простых системах, например, из физических моделей  – в колебаниях сферического маятника с двумя степенями свободы. Мы для начала рассмотрим даже ещё более простые математические модели с дискретным временем – сдвиг Бернулли и преобразование пекаря.

Сдвиг Бернулли представляет собой отображение в одномерном пространстве на интервале (0,1) по закону

xn+1=2xn(mod1).

Это уравнение движения детерминистично: по заданному xn однозначно вычисляется xn+1. При этом, однако, сдвиг Бернулли не является обратимым отображением. Симметрия во времени нарушена ещё на уровне уравнения движения. Этим сдвиг Бернулли отличается от динамических систем с обратимыми уравнениями движения.

Сдвиг Бернулли представляет собой пример детерминистического хаоса. Можно представить примеры последовательностей, начинающихся с какого-нибудь произвольного числа, например:

{0.13;  0.26;  0.52;  0.04;  0.08;  0.16;  0.32;  0.64;  0.28...   }

и

{0.14;  0.28;  0.56;  0.12;  0.24;  0.48;  0.96;  0.92;  0.84... } –

как видим, незначительное отличие в начальных условиях уже на 4-м шаге порождает существенное различие траекторий, а в дальнейшем их поведение совершенно различно.

Легко показать, что со временем разойдутся траектории любых двух сколь угодно близких точек. Запишем число x в виде двоичной дроби:

x=0.u–1u–2u–3...u–k...=u–1/2 + u–2/22 + u–3/23 + ... + u–k/2k + ...

Описанное выше отображение соответствует сдвигу u–k'=u–(k+1) , откуда становится понятным название "сдвиг Бернулли". Видно, что нулевой разряд числа при этом теряется, что соответствует не-взаимооднозначности отображения.

Описание эволюции динамической системы типа сдвига Бернулли в терминах траектории неадекватно, так как для адекватности траектория должна оставаться "почти одной и той же" при незначительном изменении начальных условий.

В данном же случае имеет смысл обратиться к статистическому описанию, введя плотность вероятности r(x) пребывания системы в каждой точке x интервала (0,1). Отображение представляет собой оператор U, действующий на эту функцию:

rn+1=Urn(x)= ( rn(x/2)+rn((x+1)/2) ) / 2.

 

Оказывается, что при многократном применении оператора отображения к произвольному распределению плотности вероятности оно стремится к константе:

rn=Unr0(x)®rµ(x)=const.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат география на тему, рефераты бесплатно скачать.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата