Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Оказывается, однако, что и на уровне решения обычных уравнений движений (вытекающих из законов Ньютона) для того же маятника возможно получение неустойчивых решений, связанных с так называемой неинтегрируемостью системы по Пуанкаре.

Основная проблема классической механики состоит в расчёте движения взаимодействующих тел на основе их уравнений движения (в частном случае, например, это может быть закон Ньютона F=ma). Обобщение ньютоновской механики на более сложные системы показало, что более удобной формой описания является не зависимость от времени пространственной траектории системы (в нашем примере – координаты), а движение точки, изображающей систему, в пространстве вдвое большей размерности, чем обычное "физическое". В общем случае состояние динамической системы описывается координатами q1, ..., qs, которые являются независимыми переменными, и соответствующими им импульсами p1..., ps. Преимуществом такого подхода является существенное упрощение уравнений движения.

Центральная величина всей гамильтоновой механики – функция Гамильтона, или гамильтониан – это, в простейшем случае, выраженная через координаты и импульсы энергия системы (Строгое изложение гамильтоновой механики – см. [3]). В гамильтоновском описании число независимых переменных удваивается, но уравнения движения существенно упрощаются. Рассмотрим систему N точек. Каждой из 3N координат N точек соответствует каноническое уравнение движения . Аналогично, каждому из 3N импульсов соответствует каноническое уравнение движения вида  . В качестве частного случая  рассмотрим свободные, то есть невзаимодействующие, частицы. Гамильтониан для них зависит только от импульсов (потенциальной энергии нет). Тогда из канонических уравнений следует, что импульсы постоянны во времени (), и что координаты, задающие положение частиц, – линейные функции времени. Этот тривиальный случай играет, тем не менее, весьма важную роль в общей проблеме интегрирования гамильтоновых уравнений движения.

Чтобы ввести понятие интегрируемой системы, обратимся к другому простому примеру – маятнику на пружинке, одномерному гармоническому осциллятору. Гамильтониан для него имеет вид , где k – жёсткость пружины, q – смещение груза от положения равновесия. Чтобы упростить уравнения движения, введём новые переменные a и J вместо старых q и p:

,

,

где – собственная частота колебаний осциллятора. Переменная a называется угловой переменной, J – переменной действия. В переменных угол–действие гамильтониан принимает простой вид: H=w J. Он теперь зависит только от нового импульса – переменной действия. В результате, как и в случае свободных частиц, , то есть переменная действия является инвариантом движения. Что же касается угловой переменной, то , она меняется линейно по времени.

Переход от переменных p, q к переменным J, a называется каноническим преобразованием. В данном случае оно позволило исключить из гамильтониана член, ответственный за потенциальную энергию. Аналогичное преобразование можно иногда проделать и в случае системы со многими степенями свободы, исключив из гамильтониана межчастичное взаимодействие, и выразить движение в циклических переменных. Их название относится к периодическому характеру движения, который делается явным в таких переменных.

Особую важную роль играют частоты системы w1, w2..., wn. Именно через эти частоты мы приходим к понятию резонанса, имеющего решающее значение для теоремы Пуанкаре.

Движение интегрируемой системы с двумя степенями свободы можно представить на торе. Возможны две ситуации. Если для некоторых целых n1 и n2 выполняется условие  n1w1+ n2w2=0, то есть частоты соизмеримы, мы имеем резонанс, и движение на торе периодическое – траектория замкнутая. Если же эта сумма ни при каких комбинациях n1 и n2 не равна нулю, то траектория навивается на поверхность тора и никогда не замыкается. В конце концов, как показано Пуанкаре, такая траектория проходит сколь угодно близко к произвольной точке на поверхности тора. Траектория при этом называется всюду плотной, а движение – квазипериодическим. Квазипериодическое движение очень сложно выглядит, но на самом деле является вполне детерминированным.

До Пуанкаре полагалось, что все динамические системы являются интегрируемыми. Однако в 1889 г. Пуанкаре показал, что в общем случае невозможно получит каноническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, которое приводило бы к циклическим переменным. Например, система двух тел (Земля – Солнце) интегрируема, а вот система трёх тел (Земля – Солнце – Юпитер) неинтегрируема. Короче говоря, подавляющее большинство динамических систем неинтегрируемы.

Данная работа не посвящена анализу математических методов, которыми Пуанкаре доказывал свою теорему. Отметим только, что он сформулировал свой вопрос в терминах теории возмущений, то есть пытался для гамильтониана вида

H(J,a) = H0(J)+lV(J,a)

определить новые переменные действия J' вида J' = J + lJ1 + l2J2+ ..., аналитически переходящие в исходные при стремлении константы связи l (параметра, определяющего интенсивность взаимодействия) к нулю. Если такая замена возможна, то мы можем исключить потенциальную энергию возмущённой системы и ввести новый гамильтониан, зависящий только от J'. Интегрирование возмущённой системы было бы в этом случае столь ж простым, так как новые переменные действия были бы постоянными движения. Однако Пуанкаре показал, что такая замена возможна далеко не всегда.

Предположим, что Пуанкаре удалось бы доказать интегрируемость всех динамических систем. Это означало бы, что все динамические движения изоморфны движению свободных (не взаимодействующих) частиц. Разумеется, такая модель не оставляет никакого места для возможности макропроцессов, которые мы наблюдаем ежеминутно. В интегрируемом мире не нашлось бы места ни для самоорганизации, ни для когерентности (в случае, например, диссипативного хаоса).

Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал на её причину, а именно – на существование резонансов между степенями свободы системы. Именно резонансы сильно связывают степени свободы и не дают возможность исключить взаимодействие. В качестве примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид

H = H0(J1,J2)+lV(J1,J2,a1,a2),

представимый в виде суммы невозмущённого интегрируемого гамильтониана и малого возмущения lV. Как показал Пуанкаре, теория возмущений неизбежно приводит к появлению членов с "оласными" знаменателями вида 1/(n1w1+n2w2). Если частоты соизмеримы и существуют резонансы, то члены ряда теории возмущений расходятся, и им приходится приписывать значение, равное бесконечности. Но это означает, что в физике описания что-то "не так"!

Проблема малых знаменателей была известна ещё астрономам в XIX в. Теорема Пуанкаре показала, что основная трудность – появление расходимостей в решении задач динамики – не может быть устранена и делает невозможным введение циклических переменных для большинства динамических проблем, начиная с проблемы трёх тел.

Открытие неинтегрируемости вызвало определённый пессимизм и недоумение в рядах многих физиков. Макс Борн, например, заметил: "Было бы весьма странно, если бы Природа укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическими трудностями проблемы многих тел". Только с появлением работ Колмогорова, продолженных Арнольдом и Мозером (так называемой теории КАМ), проблему неинтегрируемости перестали оценивать как сопротивление Природы прогрессу знания, а начали рассматривать как новый отправной пункт дальнейшего развития динамики.

Теория КАМ рассматривает влияние резонансов на траектории. Простой случай гармонического осциллятора с постоянной частотой, не зависящей от переменных действия J, является исключением: частоты, вообще говоря, зависят от значений, принимаемых переменными действия. А посему в одних точках фазового пространства динамической системы резонанс может существовать, а в других – нет. Резонансы соответствуют рациональным соотношениям между частотами, классический же результат теории чисел говорит, что мера рациональных чисел по сравнению с мерой иррациональных равна нулю. Это означает, что резонансы встречаются крайне редко. Кроме того, в отсутствие возмущений, как было сказано выше, резонансы приводят к периодическому движению, а в общем случае мы имеем квазипериодическое движение (нерезонансные торы). Резюмируя, можно сказать, что периодические движения – не правило, а исключение.

(Интересно было бы предположить, какими путями развивалась бы эволюция жизни на Земле, если бы движение Земли вокруг Солнца не носило периодического характера. Возможна ли, например, жизнь в условиях планетной системы двойной звезды? Автор реферата полагает, что если "крайние" условия, в которые попадала бы такая планета, не были слишком уж жёсткими, то жизнь нашла бы возможность приспособиться и эволюция была бы всё-таки возможна. Однако все эти рассуждения основаны лишь на оптимизме автора и его вере в глубокую приспособляемость всего живого к внешним условиям, и имеют крайне мало отношения к объявленной в заглавии теме работы).

При введении возмущений характер движения на резонансных торах резко изменяется (по теореме Пуанкаре), в то время как квазипериодическое движение изменяется незначительно, по крайней мере, при малом параметре возмущения l. Основной результат теории КАМ состоит в том, что теперь мы имеем два совершенно различных типа траекторий: слегка изменившиеся квазипериодические траектории и стохастические траектории, возникшие при разрушении резонансных торов. Появление стохастических траекторий подтверждается численными экспериментами [1, c.127].

Теория КАМ не приводит к динамической теории хаоса. Её главный вклад в другом: она показала, что при малых значениях параметра l мы имеем промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярные и стохастические. В дальнейшем нас будет в основном интересовать то, что происходит в предельном случае, когда снова останется только один тип траекторий. Эта ситуация соответствует так называемым большим системам Пуанкаре (БСП), к рассмотрению которых мы и переходим.

При рассмотрении предложенной Пуанкаре классификации динамических систем на интегрируемые и неинтегрируемы мы отметили, что резонансы встречаются редко. При переходе к БСП ситуация радикально изменяется: в БСП резонансы играют главную роль.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат география на тему, рефераты бесплатно скачать.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата