Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

[pic]

Таким образом, решение этой задачи имеет вид

[pic] (15)

где [pic] нам задана, а функции [pic] (n=1, 2, … , N) определяются из решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода (5) методом регуляризации
(7) - (9).

Следовательно, искомые величины[pic] [pic]определяются из решения (4) с использованием регуляризирующего алгоритма (7) - (9).

Метод наименьших квадратов.

Пусть функция [pic] задана на [pic] своими значениями в точках [pic].
Рассмотрим совокупность функций

[pic] [pic]

(16)

линейно независимых на [pic].

Будем отыскивать линейную комбинацию этих функций

[pic]

(17) так, чтобы сумма квадратов ее отклонений от заданных значений [pic] функции в узлах [pic] имела бы наименьшее возможное значение, то есть величина

[pic]

(18) принимала бы минимальное значение.

Заметим, что упомянутая сумма является функцией коэффициентов

[pic].

(19)
Поэтому для решения нашей задачи воспользуемся известным приемом дифференциального исчисления, а именно: найдем частные производные функции
[pic]по всем переменным и приравняем их нулю:

[pic] где

[pic]
Отсюда видим, что метод наименьших квадратов приводит к необходимости решать систему алгебраических уравнений

[pic] [pic].

(20)
Можно доказать, что если среди точек [pic] нет совпадающих и [pic], то определитель системы (20) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение (19). Подставив его в (17), найдем искомый обобщенный многочлен [pic], те есть многочлен, обладающий минимальным квадратичным отклонением [pic]. Заметим, что при m = n коэффициенты (19) можно определить из условий [pic] [pic]причем в этом случае Ф = 0.
Следовательно, мы приходим здесь к рассмотренной ранее задаче интерполирования.

Функции [pic], [pic] , как известно, образуют систему Чебушева на любом сегменте и могут быть использованы для практической реализации описанного метода.

Легко видеть, что коэффициенты и свободные члены системы (20) в этом случае представим как

[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: 5 баллов, диплом 2011, сообщение об открытии.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата