Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y
[pic](X[pic]Z[pic]Y[pic]Z).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) [pic]x[pic]y[pic]z[pic]u (u [pic] z [pic] u = x[pic]u = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) [pic]х [pic]y (у
[pic] х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.
[pic] [pic]1x [pic] y (у [pic] х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию.

Определение. [pic]y (y [pic] 0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}.
Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов
Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что
[pic]NBG [pic]1Z((M(X)&M(Y)&[pic]u (u [pic] Z [pic] u = X [pic] u = Y))
[pic]

[pic](( [pic] M(X) [pic] [pic] M(Y))&Z=0)).
Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) &[pic] u (и [pic]{X, Y} [pic] u = X [pic] u
= Y)) [pic]

[pic](([pic] M(X)[pic] [pic] M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно доказать, что [pic]NBG [pic]x [pic]y [pic]u (u [pic] {х, у}
[pic] u = x [pic] u = y) и [pic]NBG [pic]x [pic]y (M({х, у})).

Определение. [pic] = {{Х}, {X, Y}}. [pic] называется упорядоченной парой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет.
Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

[pic]NBG [pic]x [pic]y [pic]u [pic]v ([pic]).

Доказательство. Пусть [pic] = [pic]. Это значит, что {{x}, {x, y}} =
{{u}, {u, v}}. Так как {х} [pic] {{x}, {x, y}}, то {x} [pic] {{u}, {u, v}}.
Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} [pic] {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} [pic]{{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y}
= {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и, следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ? u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной n-ки.

Определение

[pic] = Х,

[pic]

Так, например,

[pic] и [pic]

В дальнейшем индекс NBG в записи [pic]NBG опускается.

Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:

[pic] [pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат на тему право, реферат орган.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата