Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Un1 (X) означает Un (X) & Un ([pic]). (X взаимно однозначен.)

X‘Y [pic]

Если существует единственное z такое, что [pic] [pic] X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у
(В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).

X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.)

А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)

[pic]x (Un (X) [pic] [pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] [pic]v ([pic][pic]

X & v [pic] X))).

Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество.

Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств.

А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)

[pic]x (0 [pic] x & [pic]u (u [pic] x [pic] u [pic] {u} [pic] x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 [pic] x, и если и [pic] x, то и [pic]{и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} [pic] x, {0, {0}} [pic] x, {0, {0}, {0,
{0}}} [pic] x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0,
1, … , n – 1}, то для любого целого п ? 0 будет выполнено п [pic] х, и при этом 0 ? 1, 0 ? 2, 1 ? 2, 0 ? 3, 1 ? ? 3, 2 ? 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N
(пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I
(бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y
= [pic](x [pic] x) ,т. е. [pic]х (х [pic] Y [pic] х [pic] х). (Такой класс
Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х [pic] х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: [pic]X (M(X)
[pic] (X [pic] Y [pic] X [pic] X)). Допустим M(Y). Тогда Y [pic] Y [pic] Y
[pic] Y, что, в силу тавтологии (A [pic][pic] A) [pic]A & & [pic] A, влечет
Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y. Отсюда по теореме дедукции получаем
[pic] M(Y)[pic](Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y), а затем, в силу тавтологии (B
[pic] (A & [pic] A))[pic][pic] B , получаем и [pic] М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории
NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-
Форти).

Определения

X Irr Y означает [pic]y (y [pic]Y [pic][pic] [pic] X) & Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) & [pic]u[pic]v[pic]w (u[pic]Y & v[pic]Y & w[pic]Y &

& [pic][pic]X &[pic][pic]X & X [pic][pic][pic]X).

(X есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) & [pic]u[pic]v (u[pic]Y & v[pic]Y & u ? v
[pic][pic][pic]

[pic] X [pic] [pic] [pic] X).

X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат на тему право, реферат орган.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата