Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z2 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Искомым классом Z в этом случае будет класс [pic].

(c) ? есть [pic]x ?. По индуктивному предположению, существует класс
W такой, что

[pic]x1…[pic]xn[pic]x ([pic] [pic] W [pic] ? (x1,…, xn, x, Y1,…,
Ym)).
Применим сперва

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z [pic][pic]y
([pic][pic] X)). при X = [pic] и получим класс Z1 такой, что

[pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z1[pic][pic]x[pic] ? (x1,…, xn, x,
Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = [pic], замечая, что [pic]x ? эквивалентно
[pic][pic]x[pic] ?.

Примеры. 1. Пусть ? (X, Y1, Y2) есть формула [pic]u[pic]v (X = [pic]
& u [pic] [pic] Y1 & v [pic] Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов,
[pic] [pic]Z [pic]x (x [pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 & v [pic] Y2)), а на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z [pic]x (x
[pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 & v [pic] Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву [pic]:

Определение. [pic]x (x [pic] Y1 [pic] Y2 [pic] [pic]u[pic]v (x =
[pic] & u [pic] Y1 & v [pic] [pic]Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).

Определения.

X2 обозначает X [pic] X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар).
…………………………………………………………………………………………………

Xn обозначает Xn-1 [pic] X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х [pic]V2 (X есть отношение).

2. Пусть ? (X, Y) обозначает Х [pic]Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z
[pic] x [pic]Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение. [pic]x (x [pic]P (Y) [pic] x [pic]Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве ? (X, Y) формулу [pic]v (X [pic] v & v [pic]
Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,
[pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z [pic][pic]v (x [pic] v & v [pic] Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.

Определение. [pic]x (x [pic] [pic](Y) [pic] [pic]v (x [pic] v & v
[pic] Y)). ([pic](Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть ? (X) есть [pic]u (X = [pic]). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что [pic]x (x [pic] Z [pic][pic]u (x = [pic])).

Определение. [pic]x (x [pic]I [pic] [pic]u (x = [pic])). (Отношение тождества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym)

[pic] [pic]1W( W [pic] Vn & [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] W [pic]

[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ? Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym) через [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок [pic] , удовлетворяющих формуле ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. [pic]u (u [pic] [pic]
[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) [pic] [pic]x1…[pic]xn (u = [pic] & ? (x1,…,xn,
Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n
= 1 получим [pic] [pic]u (u [pic] [pic] ? (x, Y1, …, Ym) [pic] ? (u, Y1,…,
Ym)) (иногда вместо [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись ?
).

Примеры. 1. Пусть ? есть [pic][pic]Y. Обозначим [pic][pic]([pic][pic]
Y) сокращенно через [pic], тогда [pic] [pic][pic] V2 &
[pic]x1[pic]x2([pic][pic] Y [pic][pic][pic] Y). Назовем [pic] обратным отношением класса Y.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат на тему право, реферат орган.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата