Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8

(X упорядочивает Y.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & [pic]Z (Z[pic]Y &

& Z ? 0 [pic][pic]y (y [pic] Z & [pic]v (v [pic] Z & v ? y [pic][pic] [pic] X &

& [pic] [pic] X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y [pic] y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого множества х непустых и попарно непересекающихся множеств, существует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

[pic]u (u [pic] x [pic] u ? 0 & [pic]v (v [pic] x & v ? u [pic]v ? u

= 0))[pic]

[pic][pic]y[pic]u (u [pic] x [pic][pic]1w (w [pic] u ? y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое множество может быть вполне упорядочено. [pic]x [pic]y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): [pic]x[pic]y (x [pic] y[pic] y [pic] x).

Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном множестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.
[pic]x[pic]y ((y Part x) & [pic]u (u [pic] x & y Tot u [pic][pic]v (v [pic] x &[pic]w (w [pic] u [pic]w =

= v [pic] [pic] [pic] y))) [pic] [pic]v (v [pic] x &[pic]w (w [pic] x

[pic][pic] [pic] y))).

Доказательство.

1. [pic] (W. O.) [pic]Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W.
O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа ? и ?, что х [pic] ? и y [pic] ?. Но так как ? [pic] ? или ? [pic] ?, то либо x [pic] y, либо y [pic] x.

2. [pic] Trich [pic] (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число ?, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа ?, и вполне упорядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.

3. [pic] (W. O.) [pic] Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество [pic](х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и [pic] х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и [pic] [pic](х).)

4. [pic] Mult [pic]AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u [pic]{и}. Пусть х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основании Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ? u и u [pic] х, то и [pic]{и} [pic] х1 и у содержит и притом единственный элемент[pic] из и [pic]{и}. Функция f‘ u = v является искомой выбирающей функцией для х.

5. [pic] АС [pic]Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое множество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань.
На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выполнялось F‘0 = b и F‘? = f‘u для любого ?, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ ? относительно упорядочения у, что v [pic] х и v [pic] F‘‘ ?. Пусть ? есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v множества F‘‘ ? относительно упорядочения v, принадлежащих x и не принадлежащих F‘‘ ?. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однозначной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством множества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = ? 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если ?

Скачали данный реферат: Лонгина, Kabaev, Панкратов, Al'bina, Паллидия, Jakunov.
Последние просмотренные рефераты на тему: дипломная работа персонал, реферат на тему политика, реферат на тему наука, реферат менеджмент.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8